Kaudsete funktsioonide tuletamine: 7 sammu (piltidega)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-19 22:12

Arvestuses, kui teil on y jaoks võrrand, mis on kirjutatud kujul x (nt y = x² -3x), on tuletise leidmiseks lihtne kasutada põhilisi tuletamismeetodeid (matemaatikud nimetavad neid kaudse funktsiooni tuletistehnikateks). Kuid võrrandite puhul, mida on raske konstrueerida, kui võrdusmärgi ühel küljel on ainult y -termin (nt x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), on vaja teistsugust lähenemist. Tehnikaga, mida nimetatakse kaudsete funktsioonide tuletisteks, on lihtne leida mitme muutujaga võrrandite tuletisi, kui teate selgete funktsioonide tuletiste põhitõdesid!

Samm

Meetod 1 /2: lihtsate võrrandite kiire tuletamine

Samm 1. Tuletage x terminid nagu tavaliselt

Kui proovite tuletada mitme muutujaga võrrandit nagu x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, võib olla raske teada, kust alustada. Õnneks on kaudse funktsiooni tuletise esimene samm kõige lihtsam. Alustuseks tuletage x-terminid ja konstandid mõlemal pool võrrandit vastavalt tavaliste (selgesõnaliste) tuletisinstrumentide reeglitele. Ignoreeri esialgu y-termineid.

• Proovime tuua näite ülaltoodud lihtsast võrrandist. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 on kaks terminit x: x² ja -5x. Kui tahame tuletada võrrandit, peame seda kõigepealt tegema järgmiselt:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Vähendage võimsuseni 2 x² koefitsiendina eemaldage x -5x ja muutke 19 väärtuseks 0)

  2x + a² - 5 + 8a + 2xy² = 0

Samm 2. Tuletage y terminid ja lisage (dy/dx) iga termini juurde

Järgmiseks sammuks tuletage y -terminid samamoodi nagu x -terminid. Seekord lisage aga iga termini kõrvale (dy/dx), nagu lisate koefitsiendid. Näiteks kui alandate y², siis muutub tuletis 2y (dy/dx). Ignoreeri esialgu termineid, millel on x ja y.

• Meie näites näeb meie võrrand nüüd välja selline: 2x + y² - 5 + 8a + 2xy² = 0. Teeme y tuletamise järgmise sammu järgmiselt:

  2x + a² - 5 + 8a + 2xy² = 0

  (Taandage võimsus 2 in y² koefitsientidena eemaldage y 8 -st ja pange iga termini kõrvale dy/dx).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Samm 3. Kasutage toote reeglit või jagatisreeglit terminite jaoks, millel on x ja y

Mõisteid, millel on x ja y, on veidi keeruline töötada, kuid kui teate toote ja tuletisinstrumentide jagatise reegleid, on see lihtne. Kui terminid x ja y korrutatakse, kasutage toote reeglit ((f × g) '= f' × g + g × f '), asendades x termini f ja y termini g. Teisest küljest, kui terminid x ja y on üksteist välistavad, kasutage jagatisreeglit ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), asendades lugeja f -ga ja nimetaja g -ga.

• Meie näites 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, meil on ainult üks termin, millel on x ja y - 2xy². Kuna x ja y korrutatakse üksteisega, tuletame toote reegli järgmiselt:

  2xy² = (2x) (a²)- määrake 2x = f ja y² = g tolli (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2a² + 4xy (dy/dx)

• Lisades selle meie põhivõrrandisse, saame 2x + 2 aastat (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 a² + 4xy (dy/dx) = 0

Samm 4. Üksinda (dy/dx)

Sa oled peaaegu valmis! Nüüd peate vaid lahendama võrrandi (dy/dx). See tundub keeruline, kuid tavaliselt pole see nii - pidage meeles, et mis tahes kaks terminit a ja b korrutatakse (dy/dx) -ga, sest korrutamise levitamise omaduse tõttu saab kirjutada (a + b) (dy/dx). See taktika võib lihtsustada isoleerimist (dy/dx) - lihtsalt teisaldage kõik muud terminid sulgude teisel küljel ja jagage seejärel (dy/dx) kõrval olevates sulgudes olevate terminitega.

• Meie näites lihtsustame 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 järgmiselt:

  2x + 2 aastat (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 a² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2a + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2a + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Meetod 2/2: täiustatud tehnikate kasutamine

Samm 1. Sisestage väärtus (x, y) mis tahes punkti leidmiseks (dy/dx)

Ohutu! Olete oma võrrandi juba kaudselt tuletanud - see pole lihtne töö esimesel katsel! Selle võrrandi kasutamine mis tahes punkti (x, y) gradiendi (dy/dx) leidmiseks on sama lihtne kui punkti x ja y väärtuste ühendamine võrrandi paremale küljele ja seejärel leidmine (dy/dx).

• Oletame näiteks, et tahame leida gradiendi ülaltoodud näitevõrrandi punktis (3, -4). Selleks asendame x x -ga ja 3 y -ga, lahendades selle järgmiselt.

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4)))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48või 0, 6875.

Samm 2. Kasutage funktsioonide sees funktsioonide keti reeglit

Keti reegel on oluline teadmine, mis peab olema arvutusülesannete (sh kaudsete funktsioonide tuletusülesannete) kallal töötamisel. Ahelareegel väidab, et funktsiooni F (x) puhul, mida saab kirjutada (f o g) (x), tuletis F (x) on võrdne f '(g (x)) g' (x). Raskete kaudsete funktsioonide tuletusprobleemide korral tähendab see, et on võimalik tuletada võrrandi erinevad üksikud osad ja seejärel tulemused kombineerida.

• Oletame lihtsa näitena, et peame leidma patu tuletise (3x² + x) osana suuremast kaudse funktsiooni tuletisülesandest võrrandi sin (3x² + x) + y³ = 0. Kui kujutleme pattu (3x² + x) kui f (x) ja 3x² + x kui g (x), saame tuletise leida järgmiselt:

  f '(g (x)) g' (x)

  (patt (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Samm 3. Muutujate x, y ja z võrrandite jaoks leidke (dz/dx) ja (dz/dy)

Ehkki põhiarvutuses on see ebatavaline, võivad mõned täiustatud rakendused nõuda rohkem kui kahe muutuja kaudsete funktsioonide tuletamist. Iga täiendava muutuja puhul peate leidma selle täiendava tuletise x suhtes. Näiteks kui teil on x, y ja z, peaksite otsima nii (dz/dy) kui ka (dz/dx). Me saame seda teha, tuletades võrrandi x suhtes kaks korda - esiteks sisestame (dz/dx) iga kord, kui tuletame z sisaldava termini, ja teiseks sisestame (dz/dy) iga kord, kui tuletame z. Pärast seda on lihtsalt (dz/dx) ja (dz/dy) lahendamine.

• Oletame näiteks, et proovime tuletada x -i³z² - 5x⁵z = x² + y³.

• Esiteks tuletame x vastu ja sisestame (dz/dx). Ärge unustage vajadusel toote reeglit rakendada!

  x³z² - 5x⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 aastat⁵z - 5x⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5x⁵) (dz/dx) - 5 aastat⁵z = 2x

  (2x³z - 5x⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5a⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5a⁵z)/(2x³z - 5x⁵)

• Tehke sama ka (dz/dy)

  x³z² - 5x⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25x⁴z - 5x⁵(dz/dy) = 3a²

  (2x³z - 5x⁵) (dz/dy) = 3a² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3a² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5x⁵)