Igal funktsioonil on kaks muutujat, nimelt sõltumatu ja sõltuv muutuja. Sõna otseses mõttes sõltub sõltuv muutuja väärtus sõltumatust muutujast. Näiteks funktsioonis y = f (x) = 2 x + y on x sõltumatu muutuja ja y on sõltuv muutuja (teisisõnu y on x funktsioon). Tuntud muutuja x kehtivaid väärtusi nimetatakse "päritolu domeenideks". Tuntud y muutuja kehtivaid väärtusi nimetatakse tulemuste vahemikuks.
Samm
Osa 1 /3: Funktsiooni domeeni leidmine
Samm 1. Otsustage, millist tüüpi funktsiooni kavatsete täita
Funktsiooni domeeniks on kõik x-väärtused (horisontaaltelg), mis tagastavad kehtivad y-väärtused. Funktsiooni võrrand võib olla ruut, murd või sisaldada juurt. Funktsiooni domeeni arvutamiseks tuleb kõigepealt uurida võrrandi muutujaid.
- Ruutfunktsioonil on kuju kirves2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Murdudega funktsioonide näited on järgmised: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), ja teised.
- Funktsioonid, millel on juured, on järgmised: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x jne.
Samm 2. Kirjutage domeen õige märkega üles
Funktsiooni domeeni kirjutamine hõlmab nii nurksulgude [,] kui ka sulgude (,) kasutamist. Kasutage nurksulge [,], kui number kuulub domeeni, ja sulgusid (,), kui domeen numbrit ei sisalda. Täht U tähistab liitu, mis ühendab domeeni osi, mida võib eraldada vahemaa.
- Näiteks domeen [-2, 10) U (10, 2] sisaldab -2 ja 2, kuid ei sisalda numbrit 10.
- Kui kasutate lõpmatuse sümbolit, kasutage alati sulgusid ().
Samm 3. Joonista ruut ruutvõrrandist
Ruutvõrrandid annavad paraboolgraafi, mis avaneb üles või alla. Arvestades, et parabool jätkab x-teljel lõpmatust, on enamiku ruutvõrrandite domeeniks kõik reaalarvud. Teisisõnu, ruutvõrrand sisaldab kõiki numbrirea x-väärtusi, andes domeeni R (kõigi reaalarvude sümbol).
- Funktsiooni lahendamiseks valige mis tahes x-väärtus ja sisestage see funktsiooni. Funktsiooni lahendamine x-väärtusega tagastab y-väärtuse. X ja y väärtused on funktsiooni graafiku (x, y) koordinaadid.
- Joonistage need koordinaadid graafikule ja korrake protsessi teise x-väärtusega.
- Selle mudeli mõne väärtuse joonistamine annab teile ülevaate ruutfunktsiooni kujust.
Samm 4. Kui funktsiooni võrrand on murd, tehke nimetaja võrdseks nulliga
Murdudega töötades ei saa te kunagi nulliga jagada. Tehes nimetaja võrdseks nulliga ja leides x väärtuse, saate arvutada funktsioonist eraldatavad väärtused.
- Näiteks: määrake funktsiooni f (x) = domeen (x+1)/(x - 1).
- Funktsiooni nimetaja on (x - 1).
- Tehke nimetaja võrdseks nulliga ja arvutage x väärtus: x - 1 = 0, x = 1.
- Kirjutage domeen üles: Funktsiooni domeen ei sisalda 1, vaid sisaldab kõiki tegelikke numbreid, välja arvatud 1; seetõttu on domeen (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) saab lugeda kõigi reaalarvude kogumina, välja arvatud 1. Lõpmatuse sümbol,, tähistab kõiki tegelikke numbreid. Sel juhul kaasatakse domeeni kõik reaalsed numbrid, mis on suuremad kui 1 ja vähem kui 1.
Samm 5. Kui võrrand on juurfunktsioon, muutke juure muutujad suuremaks või võrdseks nulliga
Te ei saa kasutada negatiivse arvu ruutjuurt; seepärast tuleb x-väärtus, mis viib negatiivse arvuni, funktsiooni domeenist eemaldada.
- Näiteks: otsige üles funktsiooni f (x) = (x + 3) domeen.
- Juure muutujad on (x + 3).
- Muutke väärtus suuremaks või võrdseks nulliga: (x + 3) 0.
- Arvutage x: x -3 väärtus. Lahendage x: x -3.
- Funktsiooni domeen hõlmab kõiki reaalarvu, mis on suurem või võrdne -3; seetõttu on domeen [-3,).
Osa 2/3: ruutvõrrandi vahemiku leidmine
Samm 1. Veenduge, et teil on ruutfunktsioon
Ruutfunktsiooni kuju on kirves2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Ruutfunktsiooni graafik on parabool, mis avaneb üles või alla. Funktsiooni ulatuse arvutamiseks on erinevaid viise, sõltuvalt funktsiooni tüübist, millega töötate.
Lihtsaim viis muude funktsioonide, näiteks juurfunktsiooni või murdfunktsiooni vahemiku määramiseks on funktsiooni graafiline koostamine graafikukalkulaatori abil
Samm 2. Leidke funktsiooni tipu x-väärtus
Ruutfunktsiooni tipp on parabooli tipp. Pidage meeles, et ruutfunktsiooni vorm on kirves2 + bx + c. X -koordinaadi leidmiseks kasutage võrrandit x = -b/2a. Võrrand on tuletis ruutkeskmisest põhifunktsioonist, mis kujutab nullkalde/kaldega võrrandit (graafi tipus on funktsiooni gradient null).
- Näiteks leidke vahemik 3x2 + 6x -2.
- Arvutage tipu x -koordinaat: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Samm 3. Arvutage funktsiooni tipu y-väärtus
Ühendage x-koordinaat funktsiooniga, et arvutada tipu vastav y-väärtus. See y-väärtus näitab funktsiooni vahemiku piiri.
- Arvutage y-koordinaat: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Selle funktsiooni tipp on (-1, -5).
Samm 4. Määrake parabooli suund, ühendades veel vähemalt ühe x-väärtuse
Valige mõni muu x-väärtus ja ühendage see funktsiooniga, et arvutada sobiv y-väärtus. Kui y-väärtus on tipu kohal, jätkab parabool +∞. Kui y -väärtus on tipust allpool, jätkub parabool -∞.
- Kasutage x -väärtust -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- See arvutus tagastab koordinaadid (-2, -2).
- Need koordinaadid näitavad teile, et parabool jätkub tipu kohal (-1, -5); seetõttu hõlmab vahemik kõiki y -väärtusi, mis on suuremad kui -5.
- Selle funktsiooni vahemik on [-5,).
Samm 5. Kirjutage vahemik õige märkega üles
Nagu domeenid, kirjutatakse vahemikud sama märkega. Kasutage nurksulge [,], kui number on vahemikus, ja sulgusid (,), kui vahemik numbrit ei sisalda. Täht U tähistab liitu, mis ühendab vahemiku osi, mida võib eraldada vahemaa.
- Näiteks vahemik [-2, 10) U (10, 2] sisaldab -2 ja 2, kuid ei sisalda numbrit 10.
- Kui kasutate lõpmatuse sümbolit, kasutage alati sulgusid.
Osa 3/3: Vahemiku leidmine funktsiooni graafikust
Samm 1. Joonista funktsioon
Sageli on lihtsaim viis funktsiooni ulatuse määramiseks selle graafiline koostamine. Paljudel juurefunktsioonidel on vahemik (-∞, 0] või [0, +∞), kuna horisontaalse parabooli tipp (külgsuunaline parabool) asub horisontaalsel x-teljel. Sel juhul sisaldab funktsioon kõiki positiivseid y-väärtusi, kui parabool avaneb, või kõiki negatiivseid y-väärtusi, kui parabool avaneb allapoole. Fraktsioonifunktsioonidel on asümptootid (jooned, mida kunagi ei lõigata sirgjoone / kõveraga, kuid lähenevad lõpmatuseni), mis määravad funktsiooni vahemiku.
- Mõned juurfunktsioonid algavad x-telje kohal või all. Sel juhul määratakse vahemik juurefunktsiooni alguse numbri järgi. Kui parabool algab y = -4 ja tõuseb, siis on vahemik [-4, +∞).
- Funktsiooni joonistamiseks on kõige lihtsam kasutada graafikaprogrammi või graafikakalkulaatorit.
- Kui teil pole graafilist kalkulaatorit, saate joonistada graafiku ligikaudse visandi, ühendades funktsiooni x väärtuse ja hankides sobiva y-väärtuse. Joonistage need koordinaadid graafikule, et saada aimu, kuidas graafik välja näeb.
Samm 2. Leidke funktsiooni minimaalne väärtus
Vahetult pärast funktsiooni joonistamist peaksite selgelt nägema graafiku alumist punkti. Kui selget miinimumväärtust pole, siis teadke, et mõned funktsioonid jätkuvad -∞ (lõpmatus).
Fraktsioonifunktsioon hõlmab kõiki punkte, välja arvatud asümptootidel olevad punktid. Funktsioonil on vahemik (-∞, 6) U (6,)
Samm 3. Määrake funktsiooni maksimaalne väärtus
Jällegi peaksite pärast graafiku joonistamist suutma tuvastada funktsiooni maksimaalse punkti. Mõned funktsioonid jätkuvad temperatuuril +∞ ja neil puudub seetõttu miinimumväärtus.
Samm 4. Kirjutage vahemik õige märkega
Nagu domeenid, kirjutatakse vahemikud sama märkega. Kasutage nurksulge [,], kui number on vahemikus, ja sulgusid (,), kui vahemik numbrit ei sisalda. Täht U tähistab liitu, mis ühendab vahemiku osi, mida võib eraldada vahemaa.
- Näiteks vahemik [-2, 10) U (10, 2] sisaldab -2 ja 2, kuid ei sisalda numbrit 10.
- Kui kasutate lõpmatuse sümbolit, kasutage alati sulgusid.
