Ruutgraafiku joonistamine: 10 sammu (piltidega)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-02-01 14:12

Graafiliselt kujutatuna on ruutvõrrand vormis kirves² + bx + c või a (x - h)² + k moodustavad tähe U või ümberpööratud U kõvera, mida nimetatakse parabooliks. Ruutvõrrandi joonistamine otsib tippu, suunda ja sageli x ja y ristumiskohta. Üsna lihtsate ruutvõrrandite korral võib piisata x -väärtuste komplekti sisestamisest ja kõvera joonestamisest saadud punktide põhjal. Alustamiseks vaadake allpool 1. toimingut.

Samm

Samm 1. Määrake ruutvõrrandi vorm, mis teil on

Ruutvõrrandeid saab kirjutada kolmes erinevas vormis: üldvorm, tipuvorm ja ruutvorm. Ruutvõrrandi joonistamiseks võite kasutada mis tahes vormi; iga graafiku kujutamise protsess on veidi erinev. Kui teete kodutöid, saate tavaliselt küsimusi ühes neist kahest vormist - teisisõnu, te ei saa valida, seega on kõige parem mõista mõlemat. Ruutvõrrandi kaks vormi on:

• Üldine vorm.

  Sellisel kujul kirjutatakse ruutvõrrand järgmiselt: f (x) = ax² + bx + c kus a, b ja c on reaalarvud ja a ei ole null.

  Näiteks kaks üldkujulist ruutvõrrandit on f (x) = x² + 2x + 1 ja f (x) = 9x² + 10x -8.

• Peak kuju.

  Sellisel kujul kirjutatakse ruutvõrrand järgmiselt: f (x) = a (x - h)² + k kus a, h ja k on reaalarvud ja a ei ole null. Seda nimetatakse tipuvormiks, sest h ja k annavad kohe teie parabooli tipu (keskpunkti) punktis (h, k).

  Kaks tippuvormi võrrandit on f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ja -3 (x - 5)² + 1

• Mis tahes tüüpi võrrandite graafikuks saamiseks peame esmalt leidma parabooli tipu, milleks on kõveriku lõpus olev keskpunkt (h, k). Üldkuju piikide koordinaadid arvutatakse järgmiselt: h = -b/2a ja k = f (h), samas kui tippvormis on h ja k võrrandis.

Samm 2. Määratlege oma muutujad

Ruutülesande lahendamiseks tuleb tavaliselt määratleda muutujad a, b ja c (või a, h ja k). Tavaline algebraülesanne annab ruutvõrrandi olemasolevate muutujatega, tavaliselt üldises vormis, kuid mõnikord tippvormis.

• Näiteks üldvormi f (x) = 2x võrrandi puhul² + 16x + 39, meil on a = 2, b = 16 ja c = 39.
• Tippvormi võrrandi f (x) = 4 (x - 5) korral² + 12, meil on a = 4, h = 5 ja k = 12.

Samm 3. Arvutage h

Tipuvormi võrrandis on teie h väärtus juba antud, kuid üldvormivormingus tuleb arvutada h väärtus. Pidage meeles, et üldvormi võrrandite puhul on h = -b/2a.

• Meie üldvormi näites (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Pärast lahendamist leiame, et h = - 4.
• Meie tipuvormi näites (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), me teame, et h = 5 ilma matemaatikat tegemata.

Samm 4. Arvutage k

Nagu h, on k juba tippvormi võrrandis teada. Üldvormi võrrandite puhul pidage meeles, et k = f (h). Teisisõnu, saate k leida, asendades kõik võrrandi x väärtused äsja leitud h väärtustega.

• Oleme oma üldises vorminäites juba kindlaks teinud, et h = -4. K leidmiseks lahendame oma võrrandi, lisades x -i asemel oma väärtuse h:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32–64 + 39 =

    Samm 7.

• Meie tippvormi näites teame jällegi k väärtust (mis on 12), ilma et oleks vaja matemaatikat teha.

Samm 5. Joonista oma tipp

Teie parabooli tipp on punkt (h, k)-h tähistab x-koordinaati, k aga y-koordinaati. Tipp on teie parabooli keskpunkt - kas U allosas või ümberpööratud U ülaosas. Tippude tundmine on täpse parabooli joonistamise oluline osa - sageli on koolitöös tipu määramine küsimus, mida otsida.

• Meie üldise vormi näites on meie tipp (-4, 7). Seega kulmineerub meie parabool 4 sammu vasakule 0 ja 7 sammu kohal (0, 0). Peame seda punkti oma graafikul kujutama, märkides kindlasti koordinaadid.
• Meie tipuvormi näites on meie tipp (5, 12). Peame joonistama punkti 5 sammu paremale ja 12 sammu kõrgemale (0, 0).

Samm 6. Joonista parabooli telg (valikuline)

Parabooli sümmeetriatelg on joon, mis läbib selle keskpunkti, jagades selle täpselt keskel. Sellel teljel peegeldab parabooli vasak külg paremat külge. Ruutvõrrandite kujul kirves² + bx + c või a (x - h)² + k, sümmeetriatelg on sirge, mis on y-teljega paralleelne (teisisõnu täpselt vertikaalne) ja läbib tippu.

Meie üldvormi näite puhul on telg y-teljega paralleelne ja punkti (-4, 7) läbiv sirge. Kuigi see pole parabooli osa, aitab selle joone õhuke märkimine graafikul lõpuks näha parabooli kõvera sümmeetrilist kuju

Samm 7. Leidke parabooli avanemise suund

Pärast parabooli tipu ja telje tundmist peame järgmiseks teadma, kas parabool avaneb või langeb alla. Õnneks on see lihtne. Kui a väärtus on positiivne, avaneb parabool ülespoole, kui aga a väärtus on negatiivne, avaneb parabool allapoole (st parabool pööratakse ümber).

• Meie üldise vormi näite jaoks (f (x) = 2x² + 16x + 39), me teame, et meil on parabool, mis avaneb, sest meie võrrandis on a = 2 (positiivne).
• Meie tipuvormi näite puhul (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), me teame, et meil on ka parabool, mis avaneb, sest a = 4 (positiivne).

Samm 8. Vajadusel leidke ja joonistage x-lõikepunkt

Sageli palutakse teil koolitöös leida paraboolist x-lõikepunkt (mis on üks või kaks punkti, kus parabool kohtub x-teljega). Isegi kui te seda ei leia, on need kaks punkti täpse parabooli joonistamiseks väga olulised. Kõigil paraboolidel pole aga x-lõikepunkti. Kui teie paraboolil on tipp, mis avaneb ja selle tipp asub x-telje kohal või kui see avaneb allapoole ja selle tipp asub x-telje all, paraboolil ei ole x-lõikepunkti. Vastasel juhul lahendage oma x-lõikamine ühel järgmistest viisidest.

• Tehke lihtsalt f (x) = 0 ja lahendage võrrand. Seda meetodit saab kasutada lihtsate ruutvõrrandite jaoks, eriti tippvormis, kuid keeruliste võrrandite puhul on see väga raske. Vaadake allpool näidet

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Juur (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ja 13 on parabooli x-lõikepunkt.

• Faktorige oma võrrand. Mõned võrrandid kirve kujul² + bx + c saab hõlpsasti arvesse võtta kujul (dx + e) (fx + g), kus dx × fx = kirves², (dx × g + fx × e) = bx ja e × g = c. Sel juhul on teie x-lõiked x väärtused, mis muudavad sulgudes suvalise termini = 0. Näiteks:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Sel juhul on teie ainus x -lõikepunkt -1, kuna kui teete x võrdseks -1, on sulgudes olev teguritermin võrdne 0 -ga.

• Kasutage ruutmeetrilist valemit. Kui te ei suuda oma x-lõikepunkti hõlpsasti lahendada ega võrrandit korrigeerida, kasutage selleks loodud spetsiaalset võrrandit, mida nimetatakse ruutvalemiks. Kui see pole veel lahendatud, teisendage võrrand vormiks ax² + bx + c, seejärel sisestage a, b ja c valemisse x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Pange tähele, et see meetod annab teile x-i väärtuse jaoks sageli kaks vastust, mis on OK-see tähendab lihtsalt, et teie paraboolil on kaks x-lõikepunkti. Vaadake allpool näidet:

  • -5 korda² + 1x + 10 sisestatakse ruutvalemisse järgmiselt:
  • x = (-1 +/- juur (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- juur (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- juur (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) ja (-15, 18/-10). Parabooli x-lõikepunkt on x = - 1, 318 ja 1, 518
  • Meie eelmine näide üldisest vormist, 2x² +16x+39 lisatakse ruutvalemisse järgmiselt:
  • x = (-16 +/- juur (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- juur (256-312))/4
  • x = (-16 +/- juur (-56)/-10
  • Kuna negatiivse arvu ruutjuurt on võimatu leida, teame, et see parabool pole x-lõikepunkti.

Samm 9. Vajadusel leidke ja joonistage y-lõikepunkt

Kuigi sageli pole vaja y-lõikepunkti võrranditest otsida (punkt, kus parabool läbib y-telge), peate selle lõpuks leidma, eriti kui olete koolis. Protsess on üsna lihtne-lihtsalt tehke x = 0, seejärel lahendage oma võrrand f (x) või y jaoks, mis annab y väärtuse, kus teie parabool läbib y-telje. Erinevalt x-lõikepunktist võib tavalisel paraboolil olla ainult üks y-lõikepunkt. Märkus-üldvormi võrrandite korral on y-lõikepunkt y = c.

• Näiteks teame, et meie ruutvõrrand on 2x² + 16x + 39 y-lõikepunkt on y = 39, kuid selle võib leida ka järgmisel viisil:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabooli y-lõikepunkt on kell y = 39.

    Nagu eespool märgitud, on y-lõikepunkt y = c.

• Meie tipuvõrrandi vorm on 4 (x - 5)² + 12-l on y-lõikepunkt, mille leiate järgmiselt:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabooli y-lõikepunkt on kell y = 112.

Samm 10. Vajadusel joonistage lisapunkte ja seejärel joonistage graafik

Nüüd on teie võrrandis tipp, suund, x-lõikepunkt ja võib-olla ka y-lõikepunkt. Selles etapis võite proovida oma parabooli joonistada, kasutades selleks juhiseid, või otsida muid punkte oma parabooli täitmiseks, et joonistatud kõver oleks täpsem. Lihtsaim viis seda teha on lihtsalt sisestada mõned x-väärtused oma tipu suvalisele küljele ja seejärel joonistada need punktid saadud y-väärtuste abil. Sageli paluvad õpetajad teil enne parabooli joonistamist mitu punkti otsida.

• Vaatame võrrandit x² + 2x + 1. Me juba teame, et x -lõikepunkt on ainult punktis x = -1. Kuna kõver puudutab x-lõikepunkti ainult ühes punktis, võime järeldada, et tipp on selle x-lõikepunkt, mis tähendab, et tipp on (-1, 0). Meil on selle parabooli jaoks tegelikult ainult üks punkt - sellest ei piisa hea parabooli joonistamiseks. Otsime mõningaid muid punkte, et veenduda põhjaliku graafiku koostamises.

  • Leiame järgmiste x väärtuste y väärtused: 0, 1, -2 ja -3.
  • 0 puhul: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Meie mõte on (0, 1).

  • 1 korral: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Meie mõte on (1, 4).

  • -2 puhul: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Meie mõte on (-2, 1).

  • -3 puhul: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Meie mõte on (-3, 4).

  • Joonista need punktid graafikule ja joonista oma U-kujuline kõver. Pange tähele, et parabool on täiesti sümmeetriline - kui teie punktid parabooli ühel küljel on täisarvud, saate tavaliselt vähendada tööd, mis tuleneb parabooli sümmeetriateljel antud punkti lihtsalt peegeldamisest, et leida sama punkt parabooli teisel küljel.

Näpunäiteid

• Ümardage numbrid või kasutage murde vastavalt oma algebraõpetaja soovile. See aitab teil paremini ruutida ruutvõrrandit.
• Pange tähele, et f (x) = telg² + bx + c, kui b või c on võrdne nulliga, kaovad need arvud. Näiteks 12x² + 0x + 6 muutub 12x² + 6, sest 0x on 0.