Päevadel enne kalkulaatorite leiutamist pidid üliõpilased ja professorid ruutjuure käsitsi arvutama. Selle keerulise protsessi ületamiseks on välja töötatud mitmeid erinevaid viise. Mõned viisid annavad ligikaudse hinnangu ja teised annavad täpse väärtuse. Kui soovite teada saada, kuidas numbri ruutjuurt lihtsate toimingute abil leida, vaadake alustamiseks allolevat 1. sammu.
Samm
Meetod 1: 2: eelfaktoriseerimise kasutamine
Samm 1. Jagage oma arv täiuslikeks ruutfaktoriteks
See meetod kasutab numbri ruutjuure leidmiseks arvu tegureid (sõltuvalt arvust võib vastuseks olla täpne arv või lähedane lähend). Arvu tegurid on teiste numbrite kogum, mille korrutamisel saadakse see arv. Näiteks võite öelda, et tegurid 8 on 2 ja 4, sest 2 × 4 = 8. Vahepeal on täiuslikud ruudud täisarvud, mis on teiste täisarvude korrutis. Näiteks 25, 36 ja 49 on ideaalsed ruudud, kuna need on vastavalt 52, 62ja 72. Nagu võisite arvata, on täiuslikud ruutfaktorid tegurid, mis on ka täiuslikud ruudud. Ruutjuure leidmiseks algfaktoriseerimise kaudu proovige kõigepealt lihtsustada oma arvu täiuslike ruutfaktoriteni.
- Kasutame näidet. Tahame leida ruutjuure 400 käsitsi. Alustuseks jagame arvu täiuslikeks ruutfaktoriteks. Kuna 400 on 100 kordne, teame, et 400 jagub 25 -ga - täiuslik ruut. Varjude kiire jagamisega leiame, et 400 jagatuna 25 -ga võrdub 16. Juhuslikult on 16 ka täiuslik ruut. Seega on täiuslikud ruuttegurid 400 25 ja 16 sest 25 × 16 = 400.
- Võime selle kirjutada järgmiselt: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Samm 2. Leidke oma täiusliku ruutfaktori ruutjuur
Ruutjuure korrutamisomadus väidab, et mis tahes arvu a ja b korral on Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Selle omaduse tõttu võime nüüd leida oma täiusliku ruutfaktori ruutjuure ja korrutada need, et saada vastus.
-
Meie näites leiame ruutjuured 25 ja 16. Vt allpool:
- Juur (25 × 16)
- Juur (25) × juur (16)
-
5 × 4 =
20. samm.
Samm 3. Kui teie numbrit ei saa ideaalselt arvestada, lihtsustage oma vastust selle lihtsaimal kujul
Reaalses elus ei ole sageli ruutjuure leidmiseks vajalikud numbrid meeldivad täisarvud ilmselge täiusliku ruutfaktoriga nagu 400. Nendel juhtudel on võimalik, et me ei leia õiget vastust. Täisarvuna. Leides aga nii palju täiuslikke ruutfaktoreid kui võimalik, leiate vastuse ruutjuure kujul, mis on väiksem, lihtsam ja hõlpsamini arvutatav. Selleks vähendage oma arvu täiuslike ruutfaktorite ja ebatäiuslike ruutfaktorite kombinatsioonini, seejärel lihtsustage.
-
Kasutame näitena ruutjuurt 147. 147 ei ole kahe täiusliku ruudu korrutis, seega ei saa me ülaltoodud täpset täisarvu väärtust. 147 on aga ühe täiusliku ruudu ja teise numbri - 49 ja 3. - korrutis. Selle teabe abil saame oma vastuse lihtsaimal kujul kirjutada järgmiselt.
- Juur (147)
- = Juur (49 × 3)
- = Ruut (49) × Ruut (3)
- = 7 × juur (3)
Samm 4. Vajadusel hinnake
Kui teie ruutjuur on kõige lihtsamal kujul, on tavaliselt üsna lihtne saada numbrivastuse ligikaudne hinnang, arvates järelejäänud ruutjuure väärtust ja korrutades selle. Üks viis oma oletuse suunamiseks on otsida täiuslikke ruute, mis on ruutjuurest suuremad ja väiksemad. Märkate, et teie ruutjuure arvu kümnendväärtus jääb kahe numbri vahele, nii et võite arvata kahe numbri vahelise väärtuse.
-
Tuleme tagasi oma näite juurde. sest 22 = 4 ja 12 = 1, me teame, et juur (3) on vahemikus 1 kuni 2 - tõenäoliselt lähemal 2 -le kui 1. Meie hinnangul 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Kui kontrollime oma vastust kalkulaatoril, näeme, et meie vastus on üsna lähedal tegelikule vastusele 12, 13.
See kehtib ka suuremate numbrite kohta. Näiteks juur (35) võib olla ligikaudne vahemikus 5 kuni 6 (võib -olla 6 -le lähemal). 52 = 25 ja 62 = 36. 35 on vahemikus 25 kuni 36, seega peab ruutjuur olema vahemikus 5 kuni 6. Kuna 35 on ainult üks väiksem kui 36, võime kindlalt öelda, et ruutjuur on veidi väiksem kui 6. Kalkulaatoriga kontrollimine andke meile vastus umbes 5, 92 - meil on õigus.
Samm 5. Teise võimalusena vähendage esimese sammuna oma arvu kõige vähem levinud teguriteni
Täiuslike ruutude tegurite leidmine pole vajalik, kui saate hõlpsalt kindlaks määrata arvu algtegurid (tegurid, mis on ka algarvud). Kirjutage oma number kõige vähem levinud tegurite järgi. Seejärel leidke teie teguritele vastavad algarvude paarid. Kui leiate kaks ühesugust algtegurit, eemaldage need kaks numbrit ruutjuurest ja asetage üks neist numbritest ruutjuurest väljapoole.
-
Näiteks leidke selle meetodi abil ruutjuur 45 -st. Me teame, et 45 × 5 ja teame, et alla 9 = 3 × 3. Seega saame oma ruutjuure kirjutada järgmiste tegurite järgi: Sqrt (3 × 3 × 5). Lihtsalt eemaldage mõlemad kolm ja pange üks kolm ruutjuurest välja, et lihtsustada oma ruutjuure lihtsamat vormi: (3) Juur (5).
Siit on meil lihtne hinnata.
-
Viimase näiteprobleemina proovime leida ruutjuure 88:
- Juur (88)
- = Juur (2 × 44)
- = Juur (2 × 4 × 11)
- = Juur (2 × 2 × 2 × 11). Meil on ruutjuurest kaks. Kuna 2 on algarv, saame eemaldada 2 -de paari ja panna ühe neist ruutjuurest väljapoole.
-
= Meie ruutjuur oma lihtsaimal kujul on (2) Sqrt (2 × 11) või (2) Juur (2) Juur (11).
Siit saame hinnata ruutmeetrit (2) ja ruutmeetrit (11) ning leida soovitud ligikaudse vastuse.
Meetod 2/2: ruutjuure käsitsi leidmine
Pika jagamise algoritmi kasutamine
Samm 1. Eraldage oma numbri paarid
See meetod kasutab pika jagamisega sarnast protsessi, et leida täpne ruutjuure number numbrite kaupa. Kuigi see ei ole kohustuslik, võib teil olla lihtsam seda protsessi läbi viia, kui korraldate oma töökoha ja numbrid visuaalselt hõlpsasti töödeldavateks osadeks. Esmalt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab teie tööpiirkonna kaheks osaks, seejärel tõmmake parema ülaosa lähedale lühem horisontaalne joon, et jagada parem osa väiksemaks ülemiseks ja suuremaks alumiseks osaks. Seejärel eraldage numbrid paaridesse, alustades kümnendkohast. Näiteks seda reeglit järgides saab 79 520 789 182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Kirjutage oma number vasakus ülanurgas.
Näiteks proovime arvutada ruutjuure 780, 14. Joonistage kaks joont, et jagada oma töökoht ülalkirjeldatud viisil, ja kirjutage vasakusse ülanurka "7 80. 14". Pole tähtis, kas kõige vasakpoolsem number on üks number, mitte numbripaar. Kirjutate oma vastuse (ruutjuur 780, 14) paremasse ülanurka
Samm 2. Leidke suurim täisarv, mille ruutväärtus on väiksem või võrdne vasakpoolsel numbril (või numbripaaril)
Alustage oma numbri vasakust servast, nii numbripaaridest kui ka üksikutest numbritest. Leidke suurim täiuslik ruut, mis on sellest arvust väiksem või võrdne, seejärel leidke selle täiusliku ruudu ruutjuur. See arv on n. Kirjutage paremasse ülanurka n ja ruut n paremasse alanurka.
Meie näites on vasakäärmus number 7. Sest me teame, et 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, võime öelda, et n = 2, sest 2 on suurim täisarv, mille ruutväärtus on väiksem või võrdne 7. Kirjutage 2 paremasse ülanurka. See on meie vastuse esimene number. Kirjutage paremasse alumisse kvadrandisse 4 (ruutväärtus 2). See number on oluline järgmise sammu jaoks.
Samm 3. Lahutage vasakpoolsest paarist äsja arvutatud arv
Nagu pika jagamise puhul, tuleb järgmiseks sammuks äsja leitud ruudu väärtus lahutada just analüüsitud osast. Kirjutage see number esimese osa alla ja lahutage see, kirjutades oma vastuse selle alla.
-
Meie näites kirjutame 4 alla 7 ja lahutame selle. See lahutamine annab vastuse
3. samm..
Samm 4. Lohistage järgmine paar
Liikuge numbrite järgmise osa alla, mille ruutjuurt otsite, äsja leitud lahutamisväärtuse kõrval. Seejärel korrutage paremas ülanurgas olev number kahega ja kirjutage vastus paremasse alumisse kvadrandisse. Jätke äsja kirja pandud numbri kõrvale tühik korrutamisülesandele, mida teete järgmises etapis, kirjutades '"_ × _ ="'.
Meie näites on meie numbrite järgmine paar "80". Kirjutage vasaku kvadrandi 3 kõrvale "80". Seejärel korrutage paremas ülanurgas olev number kahega. See arv on 2, seega 2 × 2 = 4. Kirjutage paremasse alumisse kvadrandisse "'4"', millele järgneb _×_=.
Samm 5. Täitke lüngad paremas kvadrandis
Peate õigesse kvadrandisse täitma kõik äsja kirjutatud lüngad sama täisarvuga. See täisarv peab olema suurim täisarv, mille tõttu paremas kvadrandis olev toode on väiksem või võrdne praegu vasakul oleva arvuga.
Meie näites täidame lüngad 8 -ga, mille tulemuseks on 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. See väärtus on suurem kui 384. Seega on 8 liiga suur, kuid 7 võib töötada. Kirjutage tühikutesse 7 ja lahendage: 4 (7) × 7 = 329. 7 on õige arv, sest 329 on väiksem kui 380. Kirjutage 7 paremasse ülanurka. See on ruutjuure 780, 14 teine number
Samm 6. Lahutage äsja arvutatud number nüüd vasakul olevast numbrist
Jätkake lahutamisahelaga, kasutades pika jagamise meetodit. Võtke probleemi produkt paremasse kvadrandisse ja lahutage see nüüd vasakul olevast numbrist, kirjutades oma vastused allpool.
Meie näites lahutame 380 -st 329, mis annab tulemuse 51.
Samm 7. Korrake sammu 4
Tuletage numbri järgmine osa, mille ruutjuurt otsite. Kui jõuate oma numbri kümnendkohani, kirjutage oma vastusesse komakoht paremasse ülanurka. Seejärel korrutage parempoolses ülanurgas olev arv 2 -ga ja kirjutage see tühja korrutamisülesande ("_ × _") kõrvale, nagu eespool kirjeldatud.
Meie näites, kuna me tegeleme praegu kümnendkohaga punktides 780, 14, kirjutage parempoolsesse ülanurka komakoht pärast praegust vastust. Seejärel langetage vasakpoolses kvadrandis järgmine paar (14). Kaks korda parempoolses ülanurgas (27) olev arv võrdub 54 -ga, seega kirjutage paremasse alumisse kvadrandisse "54 _ × _ ="
Samm 8. Korrake samme 5 ja 6
Leidke parempoolsete tühikute täitmiseks suurim number, mis annab vastuse, mis on väiksem või võrdne praegu vasakul oleva numbriga. Seejärel lahendage probleem.
Meie näites on 549 × 9 = 4941, mis on väiksem või võrdne vasakul oleva numbriga (5114). 549 × 10 = 5490 on liiga suur, nii et 9 on teie vastus. Kirjutage paremasse ülanurka järgmise numbrina 9 ja lahutage korrutis vasakul olevast numbrist: 5114 miinus 4941 võrdub 173 -ga
Samm 9. Numbrite loendamise jätkamiseks langetage vasakul olevad nullpaarid ja korrake samme 4, 5 ja 6
Suurema täpsuse huvides jätkake seda protsessi, et leida oma vastusest sadu, tuhandeid ja rohkem kohti. Jätkake selle tsükli kasutamist, kuni leiate soovitud kümnendkoha.
Protsessi mõistmine
Samm 1. Kujutage ette arvu, mille arvutasite ruutjuure ruudu pindalaks S
Kuna ruudu pindala on P2 kus P on ühe külje pikkus, siis proovides leida oma numbri ruutjuurt, proovite tegelikult arvutada ruudu selle külje pikkuse P.
Samm 2. Määrake oma vastuse iga numbri jaoks tähtede muutujad
Määrake muutuja A P -i esimeseks numbriks (ruutjuur, mida proovime arvutada). B on teine, C kolmas ja nii edasi.
Samm 3. Määrake oma algnumbri iga osa jaoks tähtede muutujad
Määrake muutuja Sa esimese numbripaari jaoks S (teie algväärtus), Sb teise numbripaari jaoks jne.
Samm 4. Mõistke selle meetodi ja pika jagamise vahelist seost
See ruutjuure leidmise meetod on põhimõtteliselt pikk jagamisülesanne, mis jagab teie esialgse numbri ruutjuurega, andes teile vastuse ruutjuure. Nii nagu pika jagamise probleemi puhul, huvitab teid ainult iga sammu järgmine number. Sel viisil olete huvitatud ainult kahest järgmisest numbrist igas etapis (mis on ruutjuure iga sammu järgmine number).
Samm 5. Leidke suurim arv, mille ruutväärtus on väiksem või võrdne S -gaa.
Meie vastuse A esimene number on suurim täisarv, mille ruutväärtus ei ületa S -ia (st A nii, et A² Sa <(A+1) ²). Meie näites on Sa = 7 ja 2² 7 <3², seega A = 2.
Pange tähele, et näiteks kui soovite jagada 88962 pika jagamisega 7 -ga, on esimesed sammud peaaegu samad: näete 88962 esimest numbrit (mis on 8) ja otsite suurimat numbrit mis korrutades 7 -ga on väiksem või võrdne 8 Põhimõtteliselt otsite d nii, et 7 × d 8 <7 × (d+1). Sel juhul on d võrdne 1 -ga
Samm 6. Kujutage ette ruudu väärtust, mille pindalaga hakkate töötama
Teie vastus, stardinumbri ruutjuur, on P, mis kirjeldab ruudu pikkust alaga S (teie algusnumber). Teie hinded A, B, C jaoks tähistavad numbreid P väärtuses. Teine võimalus seda öelda on 10A + B = P (kahekohalise vastuse korral), 100A + 10B + C = P (kolme- numbriline vastus) jne.
Meie näites (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pidage meeles, et 10A+B tähistab meie vastust, P, kus B on üks ja A kümnes. Näiteks kui A = 1 ja B = 2, siis 10A+B on 12. (10A+B) ² on ruudu kogupindala, samas 100A² on selle suurima ruudu pindala, B² on selle väikseima ruudu pindala ja 10A × B on kahe ülejäänud ristküliku pindala. Seda pikka ja keerukat protsessi tehes leiame ruudu kogupindala, liites ruutude ja ristkülikute alad.
Samm 7. Lahutage S -st A²a.
Vähendage ühte paari numbrit (S.b) S. S väärtusa Sb ruudu kogupindala lähedal, mida kasutasite just suurema sisemise ruudu lahutamiseks. Ülejäänud osa võib pidada arvuks N1, mille saime 4. etapis (N1 = 380 meie näites). N1 on 2 ja kord: 10A × B + B² (kahe ristküliku pind pluss väiksema ruudu pindala).
Samm 8. Leidke N1 = 2 × 10A × B + B², mis on samuti kirjutatud N1 = (2 × 10A + B) × B
Meie näites teate juba N1 (380) ja A (2), seega peate leidma B. B ei ole tõenäoliselt täisarv, seega peate tõesti leidma suurima täisarvu B, mis (2 × 10A + B) × B N1. Nii et teil on: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Samm 9. Lõpeta
Selle võrrandi lahendamiseks korrutage A 2 -ga, nihutage tulemus kümnete asendisse (korrutades 10 -ga), pange B üksikute asendisse ja korrutage arv B -ga. Teisisõnu, lahendage (2 × 10A + B) × B. See on täpselt see, mida teete, kui kirjutate 4. sammu paremasse alumisse kvadrandisse "N_ × _ =" (N = 2 × A). Sammus 5 leiate suurima täisarvu B, mis vastab number selle all, nii et (2 × 10A + B) × B N1.
Samm 10. Lahutage pindala (2 × 10A + B) × B kogupindalast
Selle lahutamise tulemuseks on ala S- (10A+B) ², mida ei ole arvutatud (ja mida kasutatakse järgmise numbri arvutamiseks samamoodi).
Samm 11. Järgmise numbri C arvutamiseks korrake protsessi
Langetage järgmine paar (S.c) S-st, et saada vasakule N2 ja leida suurim C, nii et teil oleks (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (võrdub kahekohalise numbri "AB" kahekordse kirjutamisega, millele järgneb "_ × _ =". Leidke tühikutest suurim vastav number, mis annab vastuse, mis on väiksem või võrdne N2 -ga, nagu varemgi.
Näpunäiteid
- Kümnendkoha teisaldamine arvu kahekohalise arvuga (100 -kordne) tähendab kümnendkoha nihutamist ruutjuure ühekohalise korrutisega (kümnekordne).
- Selles näites võib 1,73 lugeda "jäägiks": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Seda meetodit saab kasutada mis tahes aluse jaoks, mitte ainult aluse 10 (kümnendkoha) jaoks.
- Võite kasutada arvutust, mis on teile mugavam. Mõned inimesed kirjutavad tulemuse esialgse numbri kohale.
- Alternatiivne viis korduvate murdude kasutamiseks on järgida järgmist valemit: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Näiteks ruutjuure 780, 14 arvutamiseks on täisarv, mille ruudu väärtus on kõige lähemal 780, 14, 28, seega z = 780, 14, x = 28 ja y = -3, 86. Väärtuste sisestamine ja hinnangute arvutamine ainult x + y/(2x) korral annab see (lihtsaimas mõttes) 78207/20800 või umbes 27, 931 (1); järgmine ametiaeg, 4374188/156607 või ligikaudu 27, 930986 (5). Iga termin lisab eelmise kümnendkoha täpsusele umbes kolm kohta pärast koma.
