Kuidas lahendada ruutjuure probleeme (piltidega)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-15 08:13

Kuigi see võib kohati hirmutav tunduda, pole ruutjuure probleemi tegelikult nii raske lahendada. Lihtsaid ruutjuure ülesandeid saab tavaliselt lahendada sama lihtsalt kui korrutamise ja jagamise põhiülesandeid. Keerukamate küsimuste korral nõuab see natuke lisapingutusi. Kuid õige lähenemisega saab iga raske probleemi lahendada. Selle artikli kaudu aitame teil mõne lihtsa sammuga lahendada ruutjuure probleeme.

Samm

Osa 1 /3: Ruutude ja ruutjuurte mõistmine

Samm 1. Ruut on arv, mis on korrutatud numbriga ise

Ruutjuure mõistmiseks on hea kõigepealt mõista ruudu tähendust. Lihtsamalt öeldes on ruut arv, mis on korrutatud numbriga ise. Näiteks 3 ruutu on 3 korda 3 = 9 ja 9 ruutu on 9 korda 9 = 81. Ruutu tähistab väike 2 ruudu paremas ülanurgas - nii: 3², 9², 100², jne.

Selle kontseptsiooni testimiseks proovige ruudu mõne teise numbriga ruudu panna. Pidage meeles, et numbri ruutimine on arvu korrutamine iseenesest. Võite isegi negatiivsed numbrid ruudu panna. Tulemuseks on alati positiivne arv. Näiteks -8² = -8 × -8 = 64.

Samm 2. Ruutjuur on ruudu vastastikune osa

Ruutjuure sümbol (√, tuntud ka kui "radikaalne" sümbol) on sisuliselt sümboli vastand ². Kui leiate radikaali, küsige endalt: milline arv ruudus annaks tulemuse radikaali sees? Näiteks kui vaatate √ (9), leidke arv, mis ruudus on üheksa. Seega on vastus "kolm", sest 3² = 9.

• Teise näitena proovime leida ruutjuure 25 (√ (25)). See tähendab, et me otsime numbrit, mille ruudulisel kujul on tulemus 25. Sest 5² = 5 × 5 = 25, siis (25) =

  5. samm..

• Ruutjuurt võib pidada ka ruudu "tühistamiseks". Näiteks kui tahame leida (64), ruutjuure 64, siis mõelge 64 -le kui 8². Kuna ruutjuure sümbol „eitab” ruudu sümboli, siis (64) = (8²) =

  8. samm..

Samm 3. Teadke erinevust täiuslike ja ebatäiuslike ruutude vahel

Siiani olid meie ruutjuure arvutuste tulemused täisarvud. Küsimused, millega te hiljem silmitsi seisate, ei ole nii lihtsad, koma taga on paarikümnendarvulised küsimused. Numbreid, mis on ümardatud pärast ruutmist (st mitte murd- või kümnendarvud), nimetatakse ka „täiuslikeks ruutudeks”. Kõik eelmised näited (9, 25 ja 64) on täiuslikud ruudud, sest kui need ruuduks panna, on tulemuseks täisarv (3, 5 ja 8).

Teisest küljest on numbrid, mida pärast ruudus ümardamist ei ümardata, "ebatäiuslikud ruudud". Tavaliselt on tulemuseks pärast ruudu määramist murd- või kümnendarv. Mõnikord tunduvad isegi numbrid väga keerulised, näiteks (13) = 3, 605551275464…

Samm 4. Jätke meelde numbrite 1-12 ruut

Nagu te juba teate, on täiusliku ruudunumbri ruutimine väga lihtne. Arvude 1–12 ruutude meeldejätmine võib olla väga kasulik, sest neid numbreid ilmub ülesandes palju. Seega säästate küsimustega tegelemisel aega. Esimesed 12 ruudukujulist numbrit on::

• 1² = 1 × 1 =

  Samm 1.

• 2² = 2 × 2 =

  4. samm.

• 3² = 3 × 3 =

  9. samm.

• 4² = 4 × 4 =

  16. samm.

• 5² = 5 × 5 =

  25. samm.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

Samm 5. Lihtsustage ruutjuurt, eemaldades täiuslikud ruudud

Ebatäiusliku ruutnumbri ruutjuure leidmine võib olla keeruline, eriti kui te ei kasuta kalkulaatorit. Kuid ruutu, mida tuleb ruutu arvutada, saab lihtsustada. Selleks eraldage lihtsalt radikaali sees olev arv mitmeks teguriks, seejärel eemaldage täiuslike ruutarvude ruutjuur ja kirjutage vastus väljaspool radikaali. Seda meetodit on üsna lihtne teha - et paremini mõista, on siin rohkem selgitusi:

• Oletame, et tahame arvutada ruutjuure 900. Niisiis, jagage 900 lihtsalt selle teguriteks. "Tegurid" on arvud, mida saab korrutada, et saada uus number. Näiteks arvu 6 saab korrutades ja 1 × 6 ja 2 × 3, seega on tegurid 6 1, 2, 3 ja 6.
• Seda põhimõtet silmas pidades jaotame 900 selle teguriteks. Alustuseks kirjutame 900 väärtuseks 9 × 100. Kuna 9 on täiuslik ruut, võime võtta ruutjuure 100 eraldi. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Teisisõnu (900) = 3√(100).

• Me saame seda veelgi lihtsustada, eraldades 100 selle teguriteks, nimelt 25 ja 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Seetõttu saab arvutada (900) = 3 (10) =

  30. samm..

Samm 6. Negatiivse arvu ruutjuure jaoks kasutage kujuteldavat arvu

Mõelge, mis number, kui tulemus on ruudus -16? Vastus, ei. Kõik numbrid ruudus on tulemus alati positiivne, kuna see on negatiivne (-), negatiivsega korrutades on tulemus positiivne (+). Niisiis, negatiivse numbri ruudukujuliseks muutmiseks peame negatiivse arvu asendama kujuteldava arvuga (tavaliselt tähtede või sümbolite kujul). Näiteks kasutatakse ruutjuure -1 puhul tavaliselt muutujat "i". Kujuteldav arv on alati negatiivse arvu ruutjuure juures.

Tuleb märkida, et kuigi kujuteldavaid numbreid ei esitata kunagi numbritega, saab neid siiski arvudena käsitleda mitmel viisil. Näiteks negatiivse arvu ruutjuure saab ruutjuure eemaldamiseks ruuduks panna. Näiteks i² = - 1

Osa 2/3: kasutage pika jaotuse stiili algoritmi

Samm 1. Lahendage ruutjuureprobleeme, näiteks pika jagamise probleeme

Kuigi aeganõudev, keeruline ruutjuure probleem saab lahendada ilma kalkulaatorita. Selleks kasutame pika virna jagamisega sarnast meetodit (või algoritmi).

• Alustage ruutjuure probleemi kirjutamisega nagu pika jagamise probleemiga. Näidisprobleemina leidke juur 6, 45, mis ei ole täisarv. Esiteks kirjutame radikaalse sümboli (√), seejärel kirjutame selle alla numbri, mille ruudu tahame võtta. Seejärel tõmmake joon numbrite kohale, nagu pikk virnastamine. Nüüd näeb sümbol "√" välja nagu saba, mille allosas oleks number 6.45.
• Kirjutame numbrid probleemi kohale, nii et jätke kindlasti tühi koht.

Samm 2. Rühmitage numbri numbrid paaridesse

Esiteks rühmitage arvu numbrid radikaali alla paaridesse, alustades kümnendkohast. Tehke paaride vahele mingi marker (punkt, koma, joon jne), et oleks lihtne jälgida.

Näidisülesandes jagatakse 6, 45 osadeks 6-, 45-00. Pidage meeles, et vasakul on "allesjäänud" numbrid - see pole probleem.

Samm 3. Leidke suurim arv, mille ruutväärtus on väiksem või võrdne esimesega

Alustage vasakpoolses rühmas esimese numbriga. Valige suurim arv, mille ruutväärtus on rühmas väiksem või võrdne. Näiteks kui grupp on 37, siis valige 6, sest 6² = 36 <37, kuid 7² = 49> 37. Kirjutage see number esimese rühma kohale. See number on teie vastuse esimene number.

• Näidisülesandes on 6-, 45-00-i esimene rühm 6. Suurim arv, mis ruudus on 6 või väiksem, on

  2. samm. - 2² = 4. Kirjutage number "2" üle 6 ja saba on radikaal.

Samm 4. Korrutage äsja kirja pandud arv, langetage see alla ja lahutage see

Võtke oma vastuse esimene number (kirjutatud radikaali kohal) ja korrutage see. Kirjutage vastus esimese rühma alla ja lahutage, et leida erinevus. Lohistage järgmine rühm äsja arvutatud erinevusest paremale. Lõpuks kirjutage vasakule oma vastuse esimese numbri korrutamise viimane number ja jätke paremal tühi ruum.

Näidisülesandes on kahekordistatud arv 2 (eelmise vastuse esimene number). 2 × 2 = 4. Seejärel lahutage 4 6 -ga (esimesest rühmast). 6 - 4 tulemuseks on 2. Järgmisena tooge järgmine rühm (45) alla ja saame 245. Lõpuks kirjutage vasakule uuesti number 4 ja jätke paremal veidi ruumi, näiteks: 4_

Samm 5. Täitke tühi ruum

Lisage vasakule kirjutatud numbrist paremal olevad numbrid. Valige number, mis annab selle uue numbriga korrutades suurima väärtuse, kuid on siiski väiksem või võrdne „tuletatud arvuga”. Näiteks kui „tuletatud number” on 1700 ja teie vasakpoolne number on 40_, siis tuleb sisestada arv „4”, sest 404 × 4 = 1616 <1700, samas kui 405 × 5 = 2025. see samm on teie vastuse teine number, nii et kirjutage see radikaalse sümboli kohale.

• Näidisülesandes otsime arvu 4_ × _ kõrval, mille vastus on suurim, kuid väiksem või võrdne 245. Vastus on

  5. samm.. 45 × 5 = 225, samas kui 46 × 6 = 276.

Samm 6. Jätkake vastuse leidmiseks tühja ruumi numbrite kasutamist

Jätkake pikka virnastamisjaotust, kuni tuletatavate arvude lahutuste vahe on null või on saadud üsna täpne arv. Kui olete lõpetanud, moodustavad numbrid, mida kasutasite igal sammul tühikute täitmiseks (pluss kõige esimene kasutatud number), vastuse iga numbri.

• Näidisülesandes lahutage 245 220 -ga, et saada 20. Järgmisena langetame järgmise numbrirühma 00 ja saame 2000. Korrutame radikaalsümboli kohal oleva numbri ja saame 25 × 2 = 50. Täitmiseks tühikutel 50_ × _ =/<2 000, saame numbri

  3. samm.. Nüüd on radikaalse sümboli kohal "253" - korrake seda protsessi uuesti ja saate järgmise numbri 9.

Samm 7. Eemaldage päritolust kümnendmärk

Lõpliku vastuse saamiseks pange koma õigesse kohta. See on lihtne - pange komakoht lihtsalt radikaalse sümboli alla komaga vastavusse. Näiteks radikaalist allpool olev number on 49, 8, seega pange kümnendkoht üle 8 ja 9 olevate numbrite vahele.

Näidisülesandes, kui radikaali all olev arv on 6, 45, on komakoht numbrite 2 ja 5 vahel. See tähendab, et lõplik vastus on 2, 539.

Osa 3/3: Kontrollige kiiresti ebatäiuslikke ruute

Samm 1. Leidke lähendamise abil ebatäiuslik ruut

Kui olete täiuslikud ruudud meelde jätnud, on ebatäiuslike ruutude leidmine palju lihtsam. Trikk on leida täiuslik ruut enne ja pärast otsitavat numbrit. Seejärel määrake, milline kahest täiuslikust ruudust on otsitavale numbrile kõige lähemal.

Näiteks tahame leida ruutjuure 40. Täiuslik ruutarv enne ja pärast 40 on 6² ja 7², mis on 36 ja 49. Kuna 40 on suurem kui 36 ja väiksem kui 49, peab ruutjuur 40 olema vahemikus 6 kuni 7. Arv 40 on lähemal 36 -le kui 49, seega on ruutjuur 40 -le lähemal 6 Siin on mõned sammud täpse vastuse leidmiseks.

Samm 2. Hinnake ruutjuur koma järel ühekohaliseks

Kui olete enne ja pärast otsitavat numbrit määranud kaks täiuslikku ruutnumbrit, on ülejäänud protsess vastuse leidmiseks lähima koma taga oleva numbri leidmine. Alustage hinnangulise ühekohalise numbriga pärast koma. Seda protsessi korratakse seni, kuni saate soovitud täpsusega vastuse.

Näidisülesandes on ruutjuure 40 mõistlik lähendamine 6, 4, sest vastus on tõenäoliselt 6 -le lähemal kui 7.

Samm 3. Korrutage oma hinnanguline arv numbriga ise

Teisisõnu, ruuduge oma ligikaudne arv. Kui veab, on tulemuseks probleemi number. Kui ei, jätkake koma järel numbrite lisamist või lahutamist, kuni leiate ülesande numbrile lähima ruudu.

• Korrutage 6, 4 6, 4, et saada 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, mis on veidi üle 40.
• Kuna esialgne katse oli ülearune, lahutage oma ligikaudne arv ühe kümnendkoha täpsusega, mis on 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. See tulemus on veidi väiksem probleemist. See tähendab, et 40 ruutjuur on vahemikus 6, 3 ja 6, 4. Siis, kuna 39.69 on 40 -le lähemal, on ka ruutjuur 40 -le lähemal 6, 3.

Samm 4. Edasine prognoosimine vastavalt vajadusele

Kasutage oma vastust, kui arvate, et see on piisavalt täpne. Kui aga ei, jätkake ülaltoodud ligikaudset mustrit, kuni leiate vastuse kolme või nelja numbriga pärast koma - igal juhul seni, kuni jõuate soovitud täpsuseni.

Näidisülesandes proovime valida koma taga ligikaudseks kaheks numbriks 6, 33. Ruut 6, 33 ja tulemus on 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. Kuna tulemus on ülesande numbrist kõrgemal, proovime vähendada teist numbrit pärast koma 6, 32. 6, 32 × 6, 32 = 39, 9424. See tulemus on pisut väiksem ülesande numbrist. Niisiis, ruutjuur 40 on nende vahel 6, 33 ja 6, 32. Kui soovite täpsemat vastust, jätkake koma järel kolme või nelja või isegi viie numbriga.

Näpunäiteid

Kiireima lahenduse saamiseks kasutage kalkulaatorit. Kaasaegsed kalkulaatorid leiavad nüüd ruutjuure kiiresti. Tavaliselt sisestage lihtsalt otsitav number ja seejärel vajutage radikaalse sümboliga nuppu. Näiteks 841 ruutjuure leidmiseks vajutage lihtsalt 8, 4, 1, (√) ja vastus kuvatakse 39.