Trinoom on algebraline avaldis, mis koosneb kolmest terminist. Tõenäoliselt hakkate õppima, kuidas arvestada ruutkeskmist kolmnurka, see tähendab kolmekordset, mis on kirjutatud kujul kirves2 + bx + c. Õppida tuleb mõningaid nippe, mida saab kasutada paljude eri tüüpi kolmnurksete jaoks, kuid harjutades saate neid paremini ja kiiremini kasutada. Kõrgema astme polünoomid selliste terminitega nagu x3 või x4, ei saa alati ühtemoodi lahendada, kuid sageli võite kasutada lihtsat faktooringut või asendust, et muuta see probleemiks, mida saab lahendada nagu iga teist ruutvalemit.
Samm
Meetod 1 /3: Faktooring x2 + bx + c
Samm 1. Õppige PLDT korrutamist
Võimalik, et olete õppinud PLDT korrutamist või "Esimene, väljas, sees, viimane", et korrutada selliseid väljendeid nagu (x+2) (x+4). Enne korrutamist on kasulik teada, kuidas see korrutamine toimib:
- Korrutage hõimud Esiteks: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Korrutage hõimud Väljaspool: (x+2) (x+
4. samm.) = x2+ 4x + _
-
Korrutage hõimud Sisse: (x+
2. samm.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Korrutage hõimud Finaal: (x+
2. samm.) (x
4. samm.) = x2+4x+2x
8. samm.
- Lihtsustage: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Samm 2. Mõistke faktooringut
Kui korrutate kaks binoomi PLDT -meetodi abil, saate trinomiumi (kolme terminiga avaldise) kujul x2+ b x+ c, kus a, b ja c on tavalised numbrid. Kui alustate võrrandiga, millel on sama vorm, saate selle tagasi jagada kaheks binoomiks.
- Kui võrrandeid pole selles järjekorras kirjutatud, korraldage võrrandid ümber selliselt, et need oleksid sellises järjekorras. Näiteks kirjutada ümber 3x - 10 + x2 Saab x2 + 3x - 10.
- Kuna suurim võimsus on 2 (x2, seda tüüpi avaldisi nimetatakse ruutkeskseteks.
Samm 3. Jäta vastuse jaoks tühi koht PLDT korrutamise kujul
Praegu kirjutage lihtsalt (_ _)(_ _) kuhu kirjutad vastuse. Me täidame selle töötamise ajal
Ärge kirjutage tühjade terminite vahele + või -, sest me ei tea veel õiget märki
Samm 4. Täitke esimesed tingimused
Lihtsate probleemide korral on teie trinomiumi esimene liige lihtsalt x2, esimesel positsioonil olevad tingimused on alati olemas x ja x. Need on mõiste x tegurid2 sest x korda x = x2.
- Meie näide x2 + 3x - 10 alates x -st2, et saaksime kirjutada:
- (x _) (x _)
- Järgmises osas tegeleme keerukamate probleemidega, sealhulgas trinoomidega, mis algavad selliste terminitega nagu 6x2 või -x2. Vahepeal järgige neid näidisküsimusi.
Samm 5. Viimase termini äraarvamiseks kasutage faktooringut
Kui lähete tagasi ja loete PLDT korrutamise samme, näete, et viimaste tingimuste korrutamine annab polünoomi viimase termini (terminid, millel pole x). Nii et tegurina peame leidma kaks numbrit, mis korrutades annavad viimase termini.
- Meie näites x2 + 3x - 10, viimane tähtaeg on -10.
- Millised on tegurid -10? Milline arv korrutatakse -10 -ga?
- Võimalusi on mitu: -1 korda 10, 1 kord -10, -2 korda 5 või 2 korda -5. Kirjutage need paarid kuskile meelde, et neid meeles pidada.
- Ärge muutke meie vastust veel. Meie vastus peaks ikkagi välja nägema selline: (x _) (x _).
Samm 6. Kontrollige välise ja sisemise tootega sobivaid võimalusi
Oleme kitsendanud viimaseid tingimusi mõnele võimalusele. Kasutage proovisüsteemi, et testida kõiki võimalusi, korrutades väliseid ja sisemisi termineid ning võrrelge toodet meie trinoomiga. Näiteks:
- Meie algsel probleemil oli termin "x" 3x, seega peaksid meie testitulemused sellele terminile vastama.
- Testid -1 ja 10: (x -1) (x+10). Väljas + sees = 10x - x = 9x. Vale.
- Testid 1 ja -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. See on vale. Tegelikult, kui testite -1 ja 10, leiate, et 1 ja -10 on ülaltoodud vastuse vastand: 9x asemel -9x.
- Testid -2 ja 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Tulemus vastab esialgsele polünoomile, seega siin on õige vastus: (x-2) (x+5).
- Sellistel lihtsatel juhtudel, kui teil pole termini x ees konstanti2, võite kasutada kiiret viisi: lihtsalt liida need kaks tegurit kokku ja pane selle taha "x" (-2+5 → 3x). Kuid see meetod ei tööta keerukamate probleemide korral, seega on parem meeles pidada ülalkirjeldatud "pikka teed".
Meetod 2/3: keerukamate kolmikloomade faktoorimine
Samm 1. Keerukamate probleemide lihtsustamiseks kasutage lihtsat faktooringut
Näiteks peate arvestama 3x2 + 9x - 30. Leidke arv, mis võib arvesse võtta kõiki kolme terminit ("suurim ühine tegur" või GCF). Sel juhul on GCF 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Seega 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Uue trinomiumi saame välja arvutada, kasutades ülaltoodud jaotise samme. Meie lõplik vastus on (3) (x-2) (x+5).
Samm 2. Otsige keerulisemaid tegureid
Mõnikord võib faktooring hõlmata muutujat või peate lihtsama võimaliku avaldise leidmiseks mitu korda arvesse võtma. siin on mõned näidised:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 aastat)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26 korda2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Ärge unustage uue trinomi numbrit uuesti töödelda, kasutades 1. meetodi samme. Kontrollige oma tööd ja otsige sarnaste probleemide näiteid selle lehe allosas olevatest näidisküsimustest.
Samm 3. Lahendage probleemid x ees oleva numbriga2.
Mõnda ruutkeskmist kolmnurka ei saa taandada kõige lihtsamale probleemitüübile. Õppige lahendama selliseid probleeme nagu 3x2 + 10x + 8, seejärel harjutage iseseisvalt selle lehe allosas olevate näidisküsimustega:
- Määrake meie vastuseks järgmine: (_ _)(_ _)
- Meie esimestel terminitel on igaüks üks x ja nende korrutamine annab 3x2. On ainult üks võimalus: (3x _) (x _).
- Loetlege tegurid 8. Koefitsiendid on 1 kord 8 või 2 korda 4.
- Testige seda võimalust väliste ja sisemiste terminite abil. Pange tähele, et tegurite järjekord on väga oluline, kuna välistermin korrutatakse x asemel 3x. Proovige kõiki võimalusi, kuni saate välja+sisse = 10x (algprobleemist):
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x ei
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x ei
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x ei
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x jah. See on õige tegur.
Samm 4. Kasutage kõrgema astme trinoomide asendamist
Teie matemaatikaraamat võib teid üllatada suure võimsusega võrranditega, näiteks x4, isegi pärast seda, kui kasutate probleemi lihtsustamiseks lihtsat faktooringut. Proovige asendada uus muutuja, mis muudab selle probleemiks, mida teate, kuidas lahendada. Näiteks:
- x5+13x3+36x
- = (x) (x4+13x2+36)
- Loome uue muutuja. Ütleme, et y = x2 ja pane sinna:
- (x) (y2+13a+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Nüüd teisendage see tagasi esialgseks muutujaks:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
Meetod 3 /3: erijuhtude faktooring
Samm 1. Leidke algarvud
Vaadake, kas trinoomi esimese või kolmanda liikme konstand on algarv. Algarv on jagatav ainult iseenesest ja 1, seega on võimalik ainult üks binoomtegurite paar.
- Näiteks x -is2 + 6x + 5, 5 on algarv, seega peab binomiaal olema vormis (_ 5) (_ 1).
- Probleemis 3x2+10x+8, 3 on algarv, seega peab binoom olema vormis (3x _) (x _).
- Küsimustele 3x2+4x+1, nii 3 kui ka 1 on algarvud, seega on ainus võimalik lahendus (3x+1) (x+1). (Vastuse kontrollimiseks peaksite selle arvu siiski korrutama, sest mõnda väljendit ei saa üldse arvesse võtta - näiteks 3x2+100x+1 pole tegur.)
Samm 2. Uurige, kas trinoom on täiuslik ruut
Täiusliku nelinurkse kolmnurga saab jagada kaheks identseks binoomiks ja tegur kirjutatakse tavaliselt kui (x+1)2 ja mitte (x+1) (x+1). Siin on mõned näited, mis kipuvad tekkima küsimustes:
- x2+2x+1 = (x+1)2ja x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2ja x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2ja x2-6x+9 = (x-3)2
- Täiuslik ruudukujuline kolmnurk kujul x2 + bx + c on alati terminid a ja c, mis on positiivsed täiuslikud ruudud (näiteks 1, 4, 9, 16 või 25) ja üks termin b (positiivne või negatiivne), mis on võrdne 2 (√a * √c).
Samm 3. Uurige, kas probleemil pole lahendust
Kõiki kolmikuid ei saa arvesse võtta. Kui te ei saa arvestada ruutkeskmist kolmnurka (kirves2+bx+c), kasutage vastuse leidmiseks ruutvalemit. Kui ainus vastus on negatiivse arvu ruutjuur, tegeliku arvu lahendust pole, siis pole probleemil tegureid.
Mitte-ruudukujuliste kolmeosaliste puhul kasutage Eisensteini kriteeriumi, mida on kirjeldatud jaotises Nõuanded
Vastused ja näidisküsimused
-
Vastused küsimustele "keerulised faktooring".
Need on küsimused "keerukamate tegurite" etapist. Oleme lihtsustanud probleeme lihtsamaks, nii et proovige neid lahendada 1. meetodi juhiste järgi, seejärel kontrollige oma tööd siit:
- (2 aastat) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Proovige keerukamaid faktooringuprobleeme.
Nendel probleemidel on igas terminis sama tegur, mida tuleb kõigepealt arvesse võtta. Vastuste nägemiseks blokeerige tühikud pärast võrdusmärki, et saaksite oma tööd kontrollida.
- 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokeerige toorik vastuse nägemiseks
- -5 korda3y2+30x2y2-25 a2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Harjutage küsimuste kasutamist. Neid probleeme ei saa lihtsamatesse võrranditesse arvestada, nii et peate vastuse leidma kujul (_x + _) (_ x + _), kasutades katse -eksituse meetodit.
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) plokk vastuse nägemiseks
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Vihje: võiksite proovida 9x rohkem kui ühte teguripaari.)
Näpunäiteid
- Kui te ei saa aru, kuidas arvutada ruutkeskmist kolmnurka (kirves2+bx+c), saate x leidmiseks kasutada ruutvalemit.
-
Kuigi te ei pea teadma, kuidas seda teha, saate Eisensteini kriteeriumide abil kiiresti kindlaks teha, kas polünoomi ei saa lihtsustada ja arvesse võtta. See kriteerium kehtib mis tahes polünoomi kohta, kuid seda on kõige parem kasutada trinoomide puhul. Kui on olemas algarv p, mis jagab kaks viimast tingimust ühtlaselt ja vastab järgmistele tingimustele, siis pole polünoomi võimalik lihtsustada:
- Pidevad terminid (ilma muutujateta) on p kordajad, kuid mitte p kordajad2.
- Eesliide (näiteks a kirves2+bx+c) ei ole p kordaja.
- Näiteks 14x2 +45x +51 ei saa lihtsustada, sest on olemas algarv (3), mida saab jagada nii 45 kui ka 51, kuid mitte jagada 14 -ga ja 51 ei jagu 3 -ga2.
Hoiatus
Kuigi see kehtib ruutkeskmiste kolmikloomade kohta, ei saa arvestada seda kolmekordset tingimata kahe binoomi tulemit. Näiteks x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
