Kaugus, mida sageli nimetatakse muutujaks "s", on ruumi mõõtmine, mis on sirgjoon kahe punkti vahel. Kaugus võib viidata kahe liikumatu punkti vahelisele ruumile (näiteks inimese kõrgus on kaugus jalgade alt kuni pea ülaosani) või see võib tähendada ruumi liikuva objekti hetkeasendi ja esialgne asukoht, kus objekt hakkas liikuma. Enamikku kaugusülesandeid saab lahendada võrrandiga s = v × t, kus s on kaugus, v on keskmine kiirus ja t on aeg või kasutades s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), kus (x1, y1) ja (x2, y2) on kahe punkti x ja y koordinaadid.
Samm
Meetod 1 /2: Kauguse arvutamine keskmise kiiruse ja ajaga
Samm 1. Leidke keskmise kiiruse ja aja väärtused
Kui proovite arvutada liikuva objekti läbitud vahemaad, on selle arvutuse jaoks kaks olulist teavet: kiirus (või kiirus) ja aega et liikuv objekt on rännanud. Selle teabe abil on võimalik arvutada objekti läbitud vahemaa valemi s = v × t abil.
Kaugusvalemi kasutamise protsessi paremaks mõistmiseks lahendame selles jaotises näiteülesande. Oletame, et sõidame mööda teed kiirusega 120 miili tunnis (umbes 193 km tunnis) ja tahame teada, kui kaugele oleme poole tunniga läbinud. Kasutamine 120 miili tunnis keskmise kiiruse väärtusena ja 0,5 tundi aja väärtusena lahendame selle probleemi järgmises etapis.
Samm 2. Korrutage keskmine kiirus ajaga
Pärast liikuva objekti keskmise kiiruse ja selle läbitud aja teadmist on läbitud vahemaa arvutamine suhteliselt lihtne. Vastuse leidmiseks korrutage need kaks väärtust.
- Pidage siiski meeles, et kui keskmise kiiruse väärtuses kasutatav ajaühik erineb ajaväärtuses kasutatavast, peate selle muutma. Näiteks kui meil oleks keskmine kiiruse väärtus mõõdetud kilomeetrites tunnis ja ajaväärtus minutites, peaksite aja väärtuse jagama 60 -ga, et teisendada see tundideks.
- Lõpetame oma näiteprobleemi. 120 miili/tunnis × 0,5 tundi = 60 miili. Pange tähele, et ajaväärtuse (tundide) ühikud jätavad keskmise kiiruse (tunnid) nimetaja välja, jättes ainult kauguse ühikud (miili).
Samm 3. Muutke teise muutuja arvutamiseks võrrandit
Kauguse põhivõrrandi lihtsus (s = v × t) muudab võrrandi kasutamise lihtsaks muu muutuja väärtuse leidmiseks kui kaugus. Lihtsalt eraldage muutuja, mida soovite leida, vastavalt algebra põhireeglitele, seejärel sisestage kolm ülejäänud muutuja väärtuse leidmiseks ülejäänud kahe muutuja väärtused. Teisisõnu, objekti keskmise kiiruse arvutamiseks kasutage võrrandit v = s/t ja objekti poolt kulunud aja arvutamiseks kasutage võrrandit t = s/v.
- Oletame näiteks, et me teame, et auto on 50 minutiga läbinud 60 miili, kuid meil pole objekti liikumisel keskmise kiiruse väärtust. Sel juhul saame isoleerida muutuja v põhivahevõrrandis, et saada v = d/t, seejärel jagada lihtsalt 60 miili/50 minutit, et saada vastus 1,2 miili minutis.
- Pange tähele, et näites on kiiruse vastuses ebatavaline ühik (miil/minut). Et saada vastust tavalisemates miilides tunnis, korrutage tulemuse saamiseks 60 minutiga tunnis 72 miili tunnis.
Samm 4. Pange tähele, et vahemaa valemis olev muutuja „v” viitab keskmisele kiirusele
Oluline on mõista, et kauguse põhivalem pakub objekti liikumise lihtsustatud pilti. Vahemaa valem eeldab, et liikuval objektil on konstantne kiirus - teisisõnu eeldatakse, et liikuval objektil on üks muutumatu kiirus. Abstraktsete matemaatikaülesannete puhul, näiteks akadeemilises keskkonnas, võib mõnikord selle eelduse abil siiski objekti liikumist modelleerida. Kuid tegelikus elus ei kajasta need näited sageli täpselt liikuvate objektide liikumist, mis tegelikult võib aja jooksul kiirendada, aeglustada, peatada ja tagurdada.
- Näiteks ülaltoodud näiteülesandes jõudsime järeldusele, et 60 miili läbimiseks 50 minutiga peame sõitma kiirusega 72 miili tunnis. See kehtib aga ainult siis, kui reisida kogu reisi jooksul ühe kiirusega. Näiteks reisides poole teekonna kiirusel 80 miili tunnis ja ülejäänud poolel 64 miili tunnis, läbime 50 miiliga ikkagi 60 miili - 72 miili tunnis = 60 miili/50 minutit = ?????
- Arvutuspõhised lahendused, mis kasutavad tuletisi, on sageli parem valik kui kauguse valemid objekti kiiruse määratlemiseks reaalsetes olukordades, kuna kiiruse muutused on võimalikud.
Meetod 2/2: Kahe punkti vahelise kauguse arvutamine
Samm 1. Leidke kahe punkti kaks ruumilist koordinaati
Mis siis, kui liikuva objekti läbitud vahemaa arvutamise asemel peate arvutama kahe kinnisasja vahelise kauguse? Sellisel juhul ülalkirjeldatud kiirusel põhinev kauguse valem ei tööta. Õnneks saab kahe punkti vahelise sirgjoone kauguse hõlpsaks arvutamiseks kasutada erinevaid kaugusvalemeid. Selle valemi kasutamiseks peate aga teadma kahe punkti koordinaate. Ühemõõtmeliste vahemaade käsitlemisel (nagu numbrireal) koosnevad koordinaadid kahest numbrist x1 ja x2. Kui käsitlete vahemaid kahes mõõtmes, vajate kahte väärtust (x, y), (x1, y1) ja (x2, y2). Lõpuks vajate kolme mõõtme jaoks väärtust (x1, y1, z1) ja (x2, y2, z2).
Samm 2. Arvutage ühemõõtmeline kaugus, lahutades kahe punkti koordinaatide väärtused
Ühemõõtmelise kauguse arvutamine kahe punkti vahel, kui teate juba iga punkti väärtust, on lihtne. Kasutage lihtsalt valemit s = | x2 - x1|. Selles valemis lahutate x1 alates x2, seejärel võtke oma vastuse absoluutväärtus, et leida kaugus x -i vahel1 ja x2. Tavaliselt soovite ühemõõtmelise kauguse valemit kasutada, kui kaks punkti asuvad sirgel või numbriteljel.
- Pange tähele, et see valem kasutab absoluutväärtusi (sümbol " | |Absoluutne väärtus tähendab ainult seda, et sümboli sees olev väärtus muutub positiivseks, kui see on negatiivne.
-
Oletame näiteks, et peatume tee ääres täiesti sirgel maanteel. Kui meie ees on linn 5 miili kaugusel ja teine linn 1 miili taga, siis kui kaugel on kaks linna? Kui määrame linna 1 x -ks1 = 5 ja linn 2 kui x1 = -1, saame kahe linna vahelise kauguse s arvutada järgmiselt:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 miili.
Samm 3. Arvutage kahemõõtmeline kaugus Pythagorase teoreemi abil
Kahemõõtmelises ruumis kahe punkti vahelise kauguse arvutamine on keerulisem kui ühemõõtmelises, kuid mitte keeruline. Kasutage lihtsalt valemit s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). Selles valemis lahutage kaks x-koordinaati, arvutage ruutjuur, lahutage kaks y-koordinaati, arvutage ruutjuur, seejärel lisage kaks tulemust kokku ja arvutage ruutjuur, et leida kahe punkti vaheline kaugus. See valem kehtib kahemõõtmelise tasapinna kohta - näiteks tavalisel x/y graafikul.
- Kahemõõtmelise kauguse valemis kasutatakse Pythagorase teoreemi, mis väidab, et paremal oleva kolmnurga hüpotenuusi pikkus võrdub kahel teisel küljel oleva ruudu ruutjuurega.
- Oletame näiteks, et meil on x -y tasapinnas kaks punkti: (3, -10) ja (11, 7), mis tähistavad vastavalt ringi keskpunkti ja punkti ringil. Kahe punkti vahelise sirgjoone kauguse leidmiseks saame selle arvutada järgmiselt.
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Samm 4. Arvutage kolmemõõtmeline kaugus, muutes kahemõõtmelise kauguse valemit
Kolmes mõõtmes on punktidel lisaks x- ja y -koordinaatidele z -koordinaadid. Kahe ruumilise ruumi kahe punkti vahelise kauguse arvutamiseks kasutage s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). See on ülalkirjeldatud kahemõõtmelise kauguse valemi muudetud vorm, mis sisaldab z-koordinaati. Kahe z-koordinaadi lahutamine, ruutjuure arvutamine ja ülejäänud valemiga jätkamine tagab, et teie lõplik vastus tähistab kahe punkti vahelist kolmemõõtmelist kaugust.
- Oletame näiteks, et oleme astronaudid, kes hõljuvad kosmoses kahe asteroidi vahel. Üks asteroid on umbes 8 km ees, 2 km paremal ja 5 km allpool meid, teine aga umbes 3 km taga, 3 km vasakul ja 4 km meist kõrgemal. Kui kujutame kahe asteroidi asukohta koordinaatidega (8, 2, -5) ja (-3, -3, 4), saame nende vahelise kauguse arvutada järgmiselt.
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
