Juurevorm on algebraline väide, millel on ruutjuure märk (või kuubikujuur või kõrgem). See vorm võib sageli kujutada kahte numbrit, millel on sama väärtus, kuigi need võivad esmapilgul tunduda erinevad (näiteks 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Seetõttu vajame seda tüüpi vormi jaoks "standardvalemit". Kui standardvalemis on kaks väidet, mis tunduvad erinevad, pole need samad. Matemaatikud nõustuvad, et ruutvormi standardvormistus vastab järgmistele nõuetele:
- Vältige murdude kasutamist
- Ärge kasutage murdosa
- Vältige nimetaja nimivormi kasutamist
- Ei sisalda kahe juurevormi korrutamist
- Juure all olevaid numbreid ei saa enam juurida
Selle praktiline kasutamine on valikvastustega eksamitel. Kui leiate vastuse, kuid teie vastus pole sama, mis olemasolevad valikud, proovige seda lihtsustada standardvalemiks. Kuna küsimuste esitajad kirjutavad tavaliselt vastused standardvalemitesse, tehke sama oma vastustega, et need vastaksid neile. Esseeküsimustes tähendavad sellised käsud nagu "lihtsusta oma vastust" või "lihtsusta kõiki juuri", et õpilased peavad järgima järgmisi samme, kuni nad vastavad ülaltoodud standardvalemile. Seda sammu saab kasutada ka võrrandite lahendamiseks, kuigi teatud tüüpi võrrandeid on lihtsam lahendada mittestandardsete valemitega.
Samm
Samm 1. Vajadusel vaadake üle juurte ja astendajate käitamise reeglid (mõlemad on võrdsed - juured on murdude volitused), nagu me neid selles protsessis vajame
Vaadake üle ka polünoomide ja ratsionaalsete vormide lihtsustamise reeglid, kuna peame neid lihtsustama.
Meetod 1 /6: täiuslikud ruudud
Samm 1. Lihtsustage kõiki täiuslikke ruute sisaldavaid juuri
Täiuslik ruut on arvu iseenesest korrutis, näiteks 81, mis on korrutis 9 x 9. Täiusliku ruudu lihtsustamiseks eemaldage lihtsalt ruutjuur ja kirjutage numbri ruutjuur.
- Näiteks 121 on täiuslik ruut, sest 11 x 11 võrdub 121. Seega saate juure (121) lihtsustada 11 -ni, eemaldades juurtähise.
- Selle sammu lihtsustamiseks peate meeles pidama kaksteist esimest täiuslikku ruutu: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Samm 2. Lihtsustage kõiki täiuslikke kuubikuid sisaldavaid juuri
Täiuslik kuup on korrutis, mis korrutab arvu kaks korda ise, näiteks 27, mis on korrutis 3 x 3 x 3. Täiusliku kuubi juurevormi lihtsustamiseks eemaldage lihtsalt ruutjuur ja kirjutage ruutjuur numbrist.
Näiteks 343 on täiuslik kuup, kuna see on 7 x 7 x 7 korrutis. Seega on 343 kuupjuur 7
Meetod 2/6: murdude teisendamine juurteks
Või vastupidi muutmine (see aitab mõnikord), kuid ärge segage neid samas lauses nagu root (5) + 5^(3/2). Eeldame, et soovite kasutada juurvormi ja ruutjuure jaoks kasutame sümboleid root (n) ja kuupjuure jaoks sqrt^3 (n).
Samm 1. Võtke üks murdosa astmesse ja teisendage see juurevormiks, näiteks x^(a/b) = root x^a võimsuseks b
Kui ruutjuur on murdosa, teisendage see tavaliseks. Näiteks ruutjuur (2/3) 4 -st = juur (4)^3 = 2^3 = 8
Samm 2. Teisendage negatiivsed astendajad murdarvudeks, näiteks x^-y = 1/x^y
See valem kehtib ainult konstantsete ja ratsionaalsete eksponentide kohta. Kui tegelete vormiga nagu 2^x, ärge seda muutke, isegi kui probleem näitab, et x võib olla murdosa või negatiivne arv
3. samm. Ühendage sama hõim ja lihtsustada saadud ratsionaalset vormi.
3. meetod 6 -st: murdude kõrvaldamine juurtest
Standardvalem nõuab, et juur oleks täisarv.
Samm 1. Vaadake ruutjuure all olevat numbrit, kui see sisaldab endiselt murdosa
Kui ikka,…
Samm 2. Muutke kahest juurest koosnevaks murdosaks, kasutades identiteedi juurt (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Ärge kasutage seda identiteeti, kui nimetaja on negatiivne või kui see on muutuja, mis võib olla negatiivne. Sel juhul lihtsustage kõigepealt murdosa
Samm 3. Lihtsustage tulemuse iga täiuslikku ruutu
See tähendab, et teisendage ruut (5/4) ruutmeetriteks (5)/ruutmeetrid (4), seejärel lihtsustage ruutmeetriteks (5)/2.
Samm 4. Kasutage muid lihtsustamismeetodeid, näiteks keeruliste murdude lihtsustamist, võrdsete terminite kombineerimist jne
Meetod 4/6: korrutamisjuurte kombineerimine
Samm 1. Kui korrutate ühe juurevormi teisega, ühendage need kaks ühes ruutjuure valemiga:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Näiteks muutke juur (2)*juur (6) juureks (12).
- Ülaltoodud identiteet sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) kehtib juhul, kui sqrt märgi all olev number ei ole negatiivne. Ärge kasutage seda valemit, kui a ja b on negatiivsed, sest teete vea, tehes sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Vasakul olev avaldis on võrdne -1 (või määratlemata, kui te ei kasuta keerukaid numbreid), samal ajal kui paremal olev väide on +1. Kui a ja/või b on negatiivsed, siis kõigepealt "muutke" märki nagu sqrt (-5) = i*sqrt (5). Kui juurmärgi all olev vorm on muutuja, mille tähis pole kontekstist teada või võib olla positiivne või negatiivne, jätke see esialgu selliseks, nagu see on. Võite kasutada üldisemat identiteeti, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), mis kehtib kõigi reaalarvude a ja b kohta, kuid tavaliselt ei aita see valem palju, sest see lisab sgn (signum) funktsiooni kasutamisele keerukust.
- See identiteet kehtib ainult siis, kui juurte vormidel on sama astendaja. Saate korrutada erinevaid ruutjuure, näiteks sqrt (5)*sqrt^3 (7), teisendades need samaks ruutjuureks. Selleks teisendage ruutjuur ajutiselt murdosaks: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Seejärel korrutage korrutamisreegli abil need kaks ruutjuureni 6125.
Meetod 5/6: ruutfaktori eemaldamine juurest
Etapp 1. Ebatäiuslike juurte faktoorimine põhiteguriteks
Tegur on arv, mis korrutatuna teise arvuga moodustab arvu - näiteks 5 ja 4 on kaks tegurit 20. Ebatäiuslike juurte purustamiseks kirjutage üles kõik arvu tegurid (või nii palju kui võimalik, kui number on liiga suur), kuni olete leidnud täiusliku ruudu.
Näiteks proovige leida kõik tegurid 45: 1, 3, 5, 9, 15 ja 45. 9 on tegur 45 ja on ka täiuslik ruut (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Samm 2. Eemaldage ruutjuure seest kõik kordajad, mis on täiuslikud ruudud
9 on täiuslik ruut, kuna see on korrutis 3 x 3. Võtke 9 ruutjuurest välja ja asendage see ruutjuure ees 3 -ga, jättes 5 ruutjuure sisse. Kui panete ruutjuure 3 tagasi, korrutage iseenesest 9, ja kui korrutate 5 -ga, tagastab see 45. 3 juurt viiest on lihtne viis juure 45 väljendamiseks.
See tähendab, et sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Samm 3. Leidke muutujast täiuslik ruut
Ruudu ruutjuur on | a |. Kui teadaolev muutuja on positiivne, saate seda lihtsustada "a" -ga. A ruutjuur kuni astmeni 3, kui see on jaotatud ruutjuureks a ruutjuureks a - pidage meeles, et eksponendid liidetakse kokku, kui korrutame kaks arvu a täheni, nii et ruut korda a võrdub a -ga kolmas võim.
Seetõttu täiuslik ruut kuubiku kujul on ruut
Samm 4. Eemaldage ruutjuurest muutuja, mis sisaldab täiuslikku ruutu
Võtke nüüd ruutjuurest ruut ja muutke see | a |. Juure a lihtne vorm kuni 3 on | a | juur a.
Samm 5. Ühendage võrdsed tingimused ja lihtsustage kõiki arvutustulemuste juuri
Meetod 6/6: nimetaja ratsionaliseerimine
Samm 1. Standardvalem nõuab, et nimetaja oleks võimalikult suur täisarv (või polünoom, kui see sisaldab muutujat)
-
Kui nimetaja koosneb ühest tähemärgi all olevast terminist, näiteks […]/juur (5), siis korrutage nii lugeja kui nimetaja selle juurega, et saada […]*ruutmeetrit (5)/ruutmeetrit (5)*ruutmeetrit (5) = […]*juur (5)/5.
Kuupjuurte või kõrgemate puhul korrutage sobiva juurega, nii et nimetaja oleks ratsionaalne. Kui nimetaja on juur^3 (5), korrutage lugeja ja nimetaja sqrt^3 (5)^2
-
Kui nimetaja koosneb kahe ruutjuure, näiteks sqrt (2) + sqrt (6), liitmisest või lahutamisest, korrutage kvantor ja nimetaja nende konjugaadiga, mis on sama vorm, kuid millel on vastupidine märk. Siis […]/(juur (2) + juur (6)) = […] (juur (2) -juur (6))/(juur (2) + juur (6)) (juur (2) -juur (6)). Seejärel kasutage kahe ruudu erinevuse identiteedivalemit [(a + b) (ab) = a^2-b^2] nimetaja ratsionaliseerimiseks, lihtsustamiseks (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- See kehtib ka nimetajate kohta, näiteks 5 + sqrt (3), sest kõik täisarvud on teiste täisarvude juured. [1/(5 + ruutmeetrit (3)) = (5 ruutmeetrit (3))/(5 + ruutmeetrit (3)) (5 ruutmeetrit (3)) = (5 ruutmeetrit (3))/(5^ 2 ruutmeetrit (3)^2) = (5 ruutmeetrit (3))/(25-3) = (5 ruutmeetrit (3))/22]
- See meetod kehtib ka selliste juurte lisamise kohta nagu sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Kui rühmitate need (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) ja korrutate (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), pole vastus ratsionaalsel kujul, kuid ikka a+b*juure (30), kus a ja b on juba ratsionaalsed numbrid. Seejärel korrake protsessi konjugaatidega a+b*sqrt (30) ja (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) on ratsionaalne. Sisuliselt, kui saate selle nipiga ühe nimemärgi eemaldamiseks nimetajast, saate seda korrata mitu korda, et eemaldada kõik juured.
- Seda meetodit saab kasutada ka nimetajate puhul, mis sisaldavad kõrgemat juuri, näiteks neljas juur 3 -st või seitsmes juur 9 -st. Korrutage lugeja ja nimetaja nimetaja konjugaadiga. Kahjuks ei saa me nimetaja konjugaati otse kätte ja seda on raske teha. Leiame vastuse numbriteooria algebraraamatust, kuid ma ei hakka sellesse süvenema.
Samm 2. Nüüd on nimetaja ratsionaalsel kujul, kuid lugeja näeb välja jama
Nüüd tuleb vaid korrutada see nimetaja konjugaadiga. Jätkake ja korrutage nagu korrutaksime polünoome. Kontrollige, kas mõnesid termineid saab võimaluse korral välja jätta, lihtsustada või kombineerida.
Samm 3. Kui nimetaja on negatiivne täisarv, korrutage nii lugeja kui nimetaja -1 -ga, et see oleks positiivne
Näpunäiteid
- Internetist saate otsida saite, mis aitavad juurvorme lihtsustada. Lihtsalt tippige võrrand juuretähisega ja pärast sisestusklahvi vajutamist ilmub vastus.
- Lihtsamate küsimuste korral ei pruugi te kõiki selle artikli samme kasutada. Keerulisemate küsimuste korral peate võib -olla kasutama mitut sammu rohkem kui üks kord. Kasutage paar korda "lihtsaid" samme ja kontrollige, kas teie vastus vastab standardsetele sõnastuskriteeriumidele, millest me varem rääkisime. Kui teie vastus on standardvalemis, olete valmis; aga kui ei, siis saate selle tegemiseks kontrollida ühte ülaltoodud toimingutest.
- Enamik viiteid "soovitatud standardvalemile" juurte vormi kohta kehtib ka kompleksarvude kohta (i = juur (-1)). Isegi kui lause sisaldab juure asemel "i", vältige nimetajaid, mis sisaldavad endiselt i -d nii palju kui võimalik.
- Mõned selle artikli juhised eeldavad, et kõik juured on ruudud. Samad üldpõhimõtted kehtivad ka kõrgemate jõudude juurtele, kuigi mõne osaga (eriti nimetaja ratsionaliseerimisega) võib olla üsna raske töötada. Otsustage ise, millist kuju soovite, näiteks ruut^3 (4) või ruut^3 (2)^2. (Ma ei mäleta, millist vormi õpikutes tavaliselt soovitatakse).
- Mõned selle artikli juhised kasutavad sõna "tavavorm", et kirjeldada "tavalist vormi". Erinevus seisneb selles, et standardvalem aktsepteerib ainult vormi 1+sqrt (2) või sqrt (2) +1 ja peab teisi vorme mittestandardseteks; Tavaline vorm eeldab, et teie, lugeja, olete piisavalt tark, et näha nende kahe numbri "sarnasust", kuigi need pole kirjalikult identsed ("sama" tähendab nende aritmeetilist omadust (kommutatiivne liitmine), mitte nende algebraline omadus (juur (2) on x^2-2 juure mitte-negatiivne. Loodame, et lugejad mõistavad kerget lohakust selle terminoloogia kasutamisel.
- Kui mõni vihje tundub ebaselge või vastuoluline, tehke kõik üheselt mõistetavad ja järjepidevad sammud ning valige seejärel kuju, mida eelistate.
