Pythagorase teoreem kirjeldab täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi elegantselt ja praktiliselt, nii et seda teoreemi kasutatakse laialdaselt ka tänapäeval. See teoreem väidab, et iga täisnurkse kolmnurga puhul on nurketa külgede ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga. Teisisõnu, täisnurkse kolmnurga puhul, millel on risti asetsevad küljed a ja b ning hüpotenuus c, a2 + b2 = c2.
Pythagorase teoreem on elementaarse geomeetria üks alustalasid. Seda teoreemi kasutavad näiteks lugematud rakendused, et hõlbustada koordinaattasandil kahe punkti vahelise kauguse leidmist.
Samm
Meetod 1 /2: täisnurkse kolmnurga külgede leidmine
Samm 1. Veenduge, et teie kolmnurk on täisnurkne kolmnurk
Pythagorase teoreem kehtib ainult täisnurksete kolmnurkade kohta, seega on enne jätkamist väga oluline veenduda, et teie kolmnurgad vastavad täisnurksete kolmnurkade omadustele. Õnneks on üks tegur, mis võib näidata, et teie kolmnurk on täisnurkne kolmnurk. Teie kolmnurgal peaks olema üks 90 -kraadine nurk.
Märgina märgitakse täisnurksed kolmnurgad sageli väikeste ruutudega, et tähistada 90-kraadiseid nurki, mitte kasutada kõveraid "kõveraid". Otsige seda konkreetset märki oma kolmnurga nurgast
Samm 2. Andke oma kolmnurga külgedele muutujad a, b ja c
Pythagorase teoreemis kujutavad muutujad a ja b külgi, mis kohtuvad täisnurksel kolmnurgal, samas kui muutuja c tähistab hüpotenuusi - täisnurga vastas olevat pikka külge. Niisiis, alustuseks märkige oma kolmnurga lühikesed küljed muutujatega a ja b (pole vahet, kas vahetate need) ja märkige hüpotenuus muutujaga c.
Samm 3. Otsustage, millist kolmnurga külge soovite lahendada
Pythagorase teoreem võimaldab matemaatikutel leida täisnurkse kolmnurga mis tahes külje pikkuse seni, kuni nad teavad kahe teise külje pikkust. Tehke kindlaks, milline pool on tundmatu - a, b ja/või c. Kui ühe külje pikkus pole teada, olete valmis edasi liikuma.
- Näiteks teame, et kolmnurga hüpotenuusi pikkus on 5 ja ühe teise külje pikkus 3, kuid me pole kolmanda külje pikkuses kindlad. Sel juhul teame, et otsime kolmanda külje pikkust ja kuna me teame ülejäänud kahe pikkust, saame selle lahendada! Töötame selle probleemi kallal järgmiste sammudega.
- Kui te ei tea kahe külje pikkust, peate Pythagorase teoreemi kasutamiseks kasutama ühte külge. Põhilised trigonomeetrilised funktsioonid võivad teid aidata, kui teate kolmnurga üht külge, mis ei ole kaldus.
Samm 4. Ühendage juba teadaolevad kahepoolsed väärtused võrrandisse
Ühendage oma kolmnurga külgede pikkused võrrandiga a2 + b2 = c2. Pidage meeles, et a ja b on kaldus küljed, samas kui c on hüpotenuus.
Meie näites teame ühe külje pikkust ja hüpotenuusi (3 ja 5), nii et võrrand muutub 3² + b² = 5²
Samm 5. Ruut
Võrrandi lahendamiseks alustage tuntud külgede ruuduga. Teise võimalusena, kui leiate, et see on lihtsam, võite jätta oma küljepikkused ruuduks ja ruudutada need hiljem.
-
Meie näites ruutume 3 ja 5 nii, et saame
9. samm. da
25. samm.. Võime võrrandi kirjutada 9 + b² = 25.
Samm 6. Liigutage tundmatu muutuja võrrandi teisele poole
Vajadusel kasutage algebralisi põhitehteid, et tundmatu muutuja liiguks võrrandi teisele poole ja ülejäänud kahe muutuja ruut teisele poole. Kui soovite leida hüpotenuusi pikkuse, on c juba võrrandi teisel poolel, nii et te ei pea selle liigutamiseks midagi tegema.
Meie näites on praegune võrrand 9 + b² = 25. B² liigutamiseks lahutage võrrandi mõlemad küljed 9 -ga, nii et tulemus on b² = 16
Samm 7. Võrrandi mõlema poole ruutjuur
Nüüd on ainult üks muutuja ühel küljel ruudus ja teisel küljel number. Mõlema külje ruutjuur, et leida tundmatu külje pikkus.
-
Meie näites b² = 16, võttes mõlema külje ruutjuure, saab b = 4. Seega võime öelda, et kolmnurga tundmatu külje pikkus on
4. samm..
Samm 8. Tõelise täisnurkse kolmnurga külgede leidmiseks kasutage Pythagorase teoreemi
Põhjus, miks Pythagorase teoreemi tänapäeval laialdaselt kasutatakse, on see, et seda saab rakendada lugematutes praktilistes olukordades. Õppige päriselus tundma täisnurkseid kolmnurki - igas olukorras, kus kaks objekti või sirget kohtuvad täisnurgaga ja kolmas objekt või joon liitub kahe objekti või joonega diagonaalselt, saate külje pikkuse leidmiseks kasutada Pythagorase teoreemi teine, kui on teada kahe teise külje pikkused.
-
Proovime tõelist näidet, mis on natuke keerulisem. Redel toetub hoonele. Kaugus trepi põhjast seinale on 5 meetrit. Treppide kõrgus ulatub 20 meetrini. Kui pikk on redel?
-
5 meetrit seinast ja 20 meetrit kõrge ütleb meile kolmnurga külgede pikkused. Kuna sein ja maapind (eeldatavalt) moodustavad täisnurga ja redel toetub seinale diagonaalselt, võib seda paigutust pidada täisnurkseks kolmnurgaks, mille küljepikkused on a = 5 ja b = 20. Redeli pikkus on hüpotenuus, seega pole c väärtus teada. Kasutame Pythagorase teoreemi:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- juur (425) = c
- c = 20,6. Redeli ligikaudne pikkus on 20,6 meetrit.
-
Meetod 2/2: X-Y tasapinna kahe punkti vahelise kauguse arvutamine
Samm 1. Leidke X-Y tasapinnast kaks punkti
Pythagorase teoreemi saab hõlpsasti kasutada X-Y tasapinna kahe punkti vahelise sirgjoone kauguse arvutamiseks. Kõik, mida pead teadma, on kahe punkti x ja y koordinaadid. Tavaliselt kirjutatakse need koordinaadid kokku kujul (x, y).
Nende kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks käsitleme iga punkti ühe täisnurkse kolmnurga mitte-täisnurgana. Seda tehes on lihtne leida külgede a ja b pikkused ning seejärel arvutada hüpotenuus c, mis on kahe punkti vaheline kaugus
Samm 2. Joonista pildile kaks punkti
Tavalises X-Y tasapinnas tähistab iga punkt (x, y), x horisontaalset koordinaati ja y tähistab vertikaalset koordinaati. Kahe punkti vahelise kauguse leiate ilma seda joonistamata, kuid seda tehes saate visuaalse pildi, mille abil saate näha, kas teie vastus on õige.
Samm 3. Leidke oma kolmnurga mittekallutatud külje pikkus
Kasutades kahte punkti hüpotenuusiga külgneva kolmnurga nurkadena, leidke kolmnurga külgede a ja b pikkused. Seda saate teha pildi või valemi | x abil1 - x2| horisontaalse külje jaoks ja | y1 - y2| vertikaalse külje jaoks koos (x1, y1) esimese punktina ja (x2, y2) teise punktina.
-
Olgu meie kaks punkti (6, 1) ja (3, 5). Meie kolmnurga horisontaalse külje pikkus on:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
3. samm.
-
Vertikaalse külje pikkus on:
- | a1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
4. samm.
- Niisiis, meie parempoolse kolmnurga külg a = 3 ja külg b = 4.
Samm 4. Kasutage hüpotenuusi pikkuse leidmiseks Pythagorase teoreemi
Kahe punkti vaheline kaugus on kolmnurga hüpotenuus, mille kaks külge just leidsite. Kasutage hüpotenuusi leidmiseks Pythagorase teoreemi, kus a on esimese külje pikkus ja b teise külje pikkus.
-
Meie näites kasutame punkte (3, 5) ja (6, 1), mille küljepikkused on 3 ja 4, nii et leiame hüpotenuusi järgmiselt:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = juur (9+16)
- c = juur (25)
-
c = 5. Kaugus (3, 5) ja (6, 1) on
5. samm..
-
Näpunäiteid
-
Hüpotenuus on alati järgmine:
- õige nurga vastas (ilma õige nurga puudutamata)
- pikim külg täisnurkses kolmnurgas
- mida nimetatakse Pythagorase teoreemis c -ks
- juur (x) tähendab x ruutjuurt.
- Ärge unustage oma vastuseid alati kontrollida. Kui teie vastus tundub vale, proovige uuesti ja proovige uuesti.
- Kui kolmnurk ei ole täisnurkne, vajate lisateavet, mitte ainult kahe teise külje pikkust.
- Teine kontrollimise viis - pikim külg on suurima nurga vastas ja lühim külg väikseima nurga vastas.
- Joonised on võtmed a, b ja c õigete väärtuste üleskirjutamiseks. Kui töötate looprobleemi kallal, kirjutage probleem esmalt kindlasti pildil.
- Kui teate ainult ühe külje pikkust, ei tööta Pythagorase teoreem. Proovige kasutada trigonomeetriat (sin, cos, tan) või suhteid 30-60-90 / 45-45-90.
