Maatriksite määrajat kasutatakse sageli arvutustes, lineaarses algebras ja kõrgemal tasemel geomeetrias. Väljaspool akadeemilist ringkonda kasutavad arvutigraafika insenerid ja programmeerijad kogu aeg maatriksit ja nende määrajaid. Kui teate juba, kuidas määrata suurusjärgu 2x2 maatriksi determinant, peate lihtsalt õppima, millal kasutada liitmist, lahutamist ja aegu, et määrata suurusjärgu 3x3 maatriksi determinant.
Samm
Osa 1: Määrajate määramine
Kirjutage oma 3 x 3 tellimuse maatriks. Alustame maatriksiga A järjekorras 3x3 ja proovime leida determinandi | A |. Allpool on toodud maatriksi märkimise üldine vorm ja näide meie maatriksist:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Samm 1. Valige rida või veerg
Tehke oma valik võrdlusreaks või -veeruks. Ükskõik, mille valite, saate ikkagi sama vastuse. Valige ajutiselt esimene rida. Järgmises jaotises anname teile mõned soovitused kõige lihtsamalt arvutatava valiku valimiseks.
Valige proovimaatriksi A esimene rida. Ringige number 1 5 3. Ühises märgistuses ringjoonega a11 a12 a13.
Samm 2. Kriipsutage läbi oma esimese elemendi rida ja veerg
Vaadake rida või veergu, mille ümber tegite, ja valige esimene element. Rida ja veerud läbi kriipsutada. Puudutamata jääb ainult 4 numbrit. Tehke need 4 numbrit 2 x 2 järjekorra maatriksiks.
- Meie näites on meie võrdlusrida 1 5 3. Esimene element asub 1. reas ja 1. veerus. Tõmba läbi kogu 1. rida ja 1. veerg. Kirjutage ülejäänud elemendid 2 x 2 maatriksisse:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Samm 3. Määrake 2 x 2 järku maatriksi determinant
Pidage meeles, määrake maatriksi determinant [ac bd] kõrval kuulutus - bc. Võimalik, et olete õppinud ka maatriksi determinandi määramist, joonistades maatriksi 2 x 2 vahele X. Korrutage kaks numbrit, mis on ühendatud joonega X. Seejärel lahutage mitu korda joonega ühendatud arvu / on. Selle valemi abil saate arvutada 2 x 2 maatriksi determinandi.
- Näites on maatriksi determinant [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Seda determinanti nimetatakse alaealine algses maatriksis valitud elementidest. Sel juhul leidsime äsja a -i alaealise11.
Samm 4. Korrutage leitud element valitud elemendiga
Pidage meeles, et kui olete otsustanud, millised read ja veerud välja tõmmata, valisite elemendid võrdlusreast (või veerust). Korrutage see element leitud 2 x 2 maatriksi determinandiga.
Näites valime a11 mis on 1. Korrutage see arv -34 -ga (maatriksi 2 x 2 determinant), et saada 1*-34 = - 34.
Samm 5. Määrake oma vastuse sümbol
Järgmine samm on see, et peate vastuse korrutama 1 või -1, et saada kofaktor valitud elemendist. Kasutatav sümbol sõltub sellest, kus elemendid asuvad maatriksis 3 x 3. Pidage meeles, et seda sümbolitabelit kasutatakse teie elemendi kordaja määramiseks:
- + - +
- - + -
- + - +
- Sest me valime a11 mis on märgitud +, korrutame arvu +1 -ga (või teisisõnu, ärge seda muutke). Ilmuv vastus on sama, nimelt - 34.
- Teine viis sümboli määratlemiseks on kasutada valemit (-1) i+j kus i ja j on rea ja veeru elemendid.
Samm 6. Korrake seda protsessi oma võrdlusrea või veeru teise elemendi puhul
Pöörduge tagasi algse 3 x 3 maatriksi juurde, mille ümber rida või veerg varem tegite. Korrake sama protsessi elemendiga:
-
Eemaldage elemendi rida ja veerg.
Sel juhul valige element a12 (mis on väärt 5). Tõmba läbi 1. rida (1 5 3) ja 2. veerg (5 4 6).
-
Muutke ülejäänud elemendid 2x2 maatriksiks.
Meie näites on teise elemendi 2x2 järjekorra maatriks [24 72].
-
Määrake selle 2x2 maatriksi determinant.
Kasutage valemit ad -bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Korrutage valitud 3x3 maatriksi elementidega.
-24 * 5 = -120
-
Otsustage, kas korrutada ülaltoodud tulemus -1 -ga või mitte.
Kasutage sümbolite või valemite tabelit (-1)ij. Valige element a12 sümboliseeritud - sümbolite tabelis. Asendage meie vastuse sümbol järgmisega: (-1)*(-120) = 120.
Samm 7. Korrake sama protsessi kolmanda elemendi puhul
Determinandi määramiseks on teil veel üks kofaktor. Loendage oma võrdlusrea või veeru kolmanda elemendi jaoks i. Siin on kiire viis kofaktori a arvutamiseks13 meie näites:
- Tõmba 1. rida ja 3. veerg maha, et saada [24 46].
- Determinant on 2*6 - 4*4 = -4.
- Korruta elemendiga a13: -4 * 3 = -12.
- Element a13 sümbol + sümbolite tabelis, nii et vastus on - 12.
Samm 8. Lisage oma kolme loenduse tulemused
See on viimane samm. Olete arvutanud kolm kofaktorit, üks rea või veeru iga elemendi kohta. Liitke need tulemused kokku ja leiate 3 x 3 maatriksi determinandi.
Näites on maatriksi determinant - 34 + 120 + - 12 = 74.
2. osa 2: probleemide lahendamise lihtsustamine
Samm 1. Valige viitete rida või veerg, millel on kõige rohkem 0 -sid
Pidage meeles, et saate valida suvalise rea või veeru. Ükskõik, mille valite, on vastus sama. Kui valite rea või veeru numbriga 0, peate kofaktori arvutama ainult elementidega, mis ei ole 0, sest:
- Näiteks valige 2. rida, millel on element a21, a22, fond23. Selle probleemi lahendamiseks kasutame 3 erinevat 2 x 2 maatriksit, oletame A21, A22, Sina23.
- 3x3 maatriksi determinant on a21| A21| - a22| A22| + a23| A23|.
- Kui a22 fond23 väärtus 0, on olemasolev valem a21| A21| - 0*| A22| + 0*| A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Seetõttu arvutame ainult ühe elemendi kofaktori.
Samm 2. Kasutage maatriksi probleemide lihtsustamiseks lisaridu
Kui võtate ühelt realt väärtused ja lisate need teisele reale, siis maatriksi determinant ei muutu. Sama kehtib veergude kohta. Saate seda teha korduvalt või korrutada konstandiga enne selle lisamist, et saada maatriksis võimalikult palju 0 -sid. See võib säästa palju aega.
- Näiteks on teil kolme reaga maatriks: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Asendis a oleva numbri 9 kõrvaldamiseks11, saate 2. rea väärtuse korrutada -3 -ga ja lisada tulemuse esimesele reale. Nüüd on uus esimene rida [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Uuel maatriksil on read [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Kasutage sama trikki veergudel, et teha a12 olla number 0.
Samm 3. Kolmnurksete maatriksite jaoks kasutage kiirmeetodit
Sel erijuhul on määravaks põhidiagonaali elementide korrutis, a11 vasakus ülaosas kuni a33 maatriksi paremas alanurgas. See maatriks on endiselt 3x3 maatriks, kuid "kolmnurga" maatriksil on spetsiaalne numbrimuster, mis ei ole 0:
- Ülemine kolmnurkne maatriks: kõik elemendid, mis ei ole 0, asuvad põhidiagonaalil või sellest kõrgemal. Kõik põhidiagonaali all olevad numbrid on 0.
- Alumine kolmnurkne maatriks: kõik elemendid, mis ei ole 0, asuvad põhidiagonaalil või selle all.
- Diagonaalmaatriks: kõik elemendid, mis ei ole 0, asuvad põhidiagonaalil (ülaltoodud maatriksitüüpide alamhulk).
Näpunäiteid
- Kui kõik rea või veeru elemendid on 0, on maatriksi determinant 0.
- Seda meetodit saab kasutada kõigi ruutmaatriksi suuruste jaoks. Näiteks kui kasutate seda meetodit järjekorra 4x4 maatriksi jaoks, jätab teie "streik" suurusjärgu 3x3 maatriksi, mille determinant saab kindlaks teha ülaltoodud juhiseid järgides. Pidage meeles, et selle tegemine võib olla igav!
