Kiirus on määratletud kui objekti kiirus teatud suunas. Kiiruse leidmiseks saame paljudes olukordades kasutada võrrandit v = s/t, kus v võrdub kiirusega, s võrdub kogu kaugusega, mille objekt on oma algsest positsioonist liikunud, ja t võrdub ajaga. Kuid see meetod annab ainult objekti "keskmise" kiiruse väärtuse selle nihke kohta. Arvutuste abil saate arvutada objekti kiiruse selle nihke mis tahes punktis. Seda väärtust nimetatakse "kiirkiiruseks" ja seda saab arvutada võrrandi abil v = (ds)/(dt)või teisisõnu on see võrrandi tuletis objekti keskmise kiiruse kohta.
Samm
Meetod 1 /3: hetkelise kiiruse arvutamine
Samm 1. Alustage objekti nihke kiiruse võrrandiga
Objekti hetkelise kiiruse väärtuse saamiseks peame esmalt omama võrrandi, mis kirjeldab selle asukohta (selle nihkumise osas) teatud ajahetkel. See tähendab, et võrrandil peab olema muutuja s (mis seisab üksi) ühel küljel ja t teisest küljest (kuid mitte tingimata iseseisvalt), näiteks:
s = -1,5t2+10 t+4
-
Võrrandis on muutujad järgmised:
-
- Nihe = s. See on objekti läbitud vahemaa selle lähtepunktist. Näiteks kui objekt liigub 10 meetrit edasi ja 7 meetrit tagasi, on kogu läbitud vahemaa 10 - 7 = 3 meetrit (mitte 10 + 7 = 17 meetrit).
-
Aeg = t. See muutuja on iseenesestmõistetav. Tavaliselt väljendatakse sekundites. # Võtke võrrandi tuletis. Võrrandi tuletis on veel üks võrrand, mis võib anda kalde väärtuse teatud punktist. Objekti nihke valemi tuletise leidmiseks tuletage funktsioon järgmise üldreegli abil: Kui y = a*x , Tuletis = a*n*xn-1. See reegel kehtib kõigi komponentide kohta, mis asuvad võrrandi "t" poolel.
Hetkelise kiiruse arvutamine 2. etapp
-
- Teisisõnu, alustage võrrandi "t" poole laskumisega vasakult paremale. Iga kord, kui jõuate väärtuseni "t", lahutage astendaja väärtusest 1 ja korrutage kogu esialgse astendajaga. Kõik konstandid (muutujad, mis ei sisalda "t") lähevad kaotsi, kuna need korrutatakse nulliga. See protsess ei ole nii raske, kui võiks arvata, tuletame näitena ülaltoodud sammu võrrandi:
s = -1,5t2+10 t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4 t0
-3 t1 + 10 t0
- 3 t + 10
Samm 2. Asendage muutuja "s" sõnaga "ds/dt
"Et näidata, et teie uus võrrand on eelmise võrrandi tuletis, asendage" s "sõnaga" ds/dt ". Tehniliselt tähendab see märge" s tuletist t suhtes. "Lihtsam viis selle mõistmiseks on see, et ds /dt on kalde (kalde) väärtus esimese võrrandi mis tahes punktis, näiteks võrrandist s = -1,5t tõmmatud joone kalde määramiseks2 + 10t + 4, kui t = 5, saame väärtuse "5" ühendada tuletisvõrrandiga.
- Kasutatud näites näeks esimene tuletisvõrrand välja selline:
ds/sek = -3t + 10
Samm 3. Hetke kiiruse väärtuse saamiseks ühendage t väärtus uude võrrandisse
Nüüd, kui teil on tuletisvõrrand, on hetkelise kiiruse leidmine igal hetkel lihtne. Kõik, mida pead tegema, on valida t väärtus ja ühendada see tuletisvõrrandiga. Näiteks kui soovite leida hetkelise kiiruse t = 5, võite asendada t väärtuse tuletisvõrrandis ds/dt = -3 + 10 väärtusega "5". Seejärel lahendage võrrand järgmiselt:
ds/sek = -3t + 10
ds/s = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 meetrit sekundis
Pange tähele, et ülaltoodud mõõtühik on "meeter/sekund". Kuna see, mida me arvutame, on nihe meetrites ja aeg sekundites (sekundites) ning kiirus üldiselt on nihe teatud aja jooksul, on see ühik sobiv kasutada
Meetod 2/3: hetke kiiruse graafiline hindamine
Samm 1. Joonista graafik objekti nihkest aja jooksul
Ülaltoodud jaotises on tuletist nimetatud valemina, mille abil saate leida tuletatud võrrandi kalde teatud punktis. Tegelikult, kui kujutate graafikul objekti nihet joonena, "on sirge kalle kõigis punktides võrdne selle hetkelise kiiruse väärtusega selles punktis".
- Objekti nihke kirjeldamiseks kasutage aja tähistamiseks x ja nihke tähistamiseks y. Seejärel joonistage punktid, lisades t väärtuse oma võrrandisse, saades nii oma graafiku väärtuse s, märkige graafikus t, s (x, y).
- Pange tähele, et teie graafik võib ulatuda x-telje alla. Kui teie objekti liikumist tähistav joon ulatub x-telje alla, tähendab see, et objekt on oma algsest positsioonist tagasi liikunud. Üldiselt ei ulatu teie graafik y -telje taha - sest me ei mõõda mööda liikuva objekti kiirust!
Samm 2. Valige sirge külgnev punkt P ja Q
Joone kalde saamiseks punktis P võime kasutada trikki, mida nimetatakse "piiri võtmiseks". Limiidi võtmine hõlmab kahte punkti (P ja Q, punkt lähedal) kõverjoonel ja sirge kalde leidmist, ühendades neid mitu korda, kuni kaugused P ja Q lähenevad.
Oletame, et objekti nihkejoon sisaldab väärtusi (1, 3) ja (4, 7). Sel juhul, kui tahame leida kallakut punktis (1, 3), saame määrata (1, 3) = P ja (4, 7) = Q.
Samm 3. Leidke kalle P ja Q vahel
P ja Q vaheline kalle on P ja Q y väärtuste erinevus piki P ja Q x-telje väärtuste erinevust. Teisisõnu, H = (yQ - yP)/(xQ - xP), kus H on kalle kahe punkti vahel. Meie näites on P ja Q vahelise kalde väärtus
H = (yQ- yP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Samm 4. Korrake mitu korda, liigutades Q lähemale P
Teie eesmärk on vähendada kaugust P ja Q, et see sarnaneks punktiga. Mida lähemal on kaugus P ja Q, seda lähemal on joone kalle punktis P. Tehke seda mitu korda, kasutades näitena kasutatud võrrandit, kasutades punkte (2, 4,8), (1,5, 3,95) ja (1,25, 3.49) kui Q ja lähtepunkt (1, 3) kui P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1.96
Samm 5. Hinnake joone kallet väga väikese vahemaa tagant
Kui Q läheneb P -le, jõuab H üha lähemale punkti P kalde väärtusele. Lõpuks, kui see jõuab väga väikese väärtuseni, on H võrdne P -kallakuga. Kuna me ei saa mõõta ega arvutada väga väikseid vahemaid, saame kallet hinnata P -l alles pärast seda, kui see on punktist selge, mida proovime.
- Näites, kui liigume Q -le lähemale P, saame H. jaoks väärtused 1,8, 1,9 ja 1,96. Kuna need numbrid on 2 lähedal, võime öelda, et 2 on P ligikaudne kalle.
- Pidage meeles, et kalle sirge mis tahes punktis on võrdne sirge võrrandi tuletisega. Kuna kasutatav joon näitab objekti nihkumist aja jooksul ja kuna me nägime eelmises lõigus, on objekti hetkeline kiirus selle nihke tuletis antud punktis, võime ka öelda, et "2 meetrit sekundis "on hetkelise kiiruse ligikaudne väärtus t = 1 juures.
Meetod 3/3: näidisküsimused
Samm 1. Leidke nihkevõrrandist s = 5t hetkelise kiiruse väärtus t = 43 - 3 t2 +2t+9.
See probleem on sama, mis näites esimeses osas, välja arvatud see, et see võrrand on kuupvõrrand, mitte võimsusvõrrand, seega saame selle probleemi lahendada samamoodi.
- Esiteks võtame võrrandi tuletise:
- Seejärel sisestage väärtus t (4):
s = 5 t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5 t(3 - 1) - (2) 3 t(2 - 1) + (1) 2 t(1 - 1) + (0) 9 tonni0 - 1
15t(2) - 6 t(1) + 2 t(0)
15t(2) - 6 t + 2
s = 15 t(2)- 6 t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meetrit sekundis
Samm 2. Kasutage graafilist hinnangut, et leida hetkeline kiirus (1, 3) nihkevõrrandi s = 4t jaoks2 - t.
Selle probleemi puhul kasutame punktina P (1, 3), kuid peame määratlema teise punktiga külgneva punkti punktina Q. Siis peame lihtsalt määrama H väärtuse ja tegema hinnangu.
- Esiteks leidke Q väärtus kõigepealt t = 2, 1,5, 1,1 ja 1,01.
- Seejärel määrake H väärtus:
- Kuna H väärtus on väga lähedal 7 -le, võime seda väita 7 meetrit sekundison ligikaudne hetkeline kiirus (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, nii Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, nii Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, seega Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, nii Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
11. samm.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5–3)/(1,5–1)
H = (4,5)/(5) =
9. samm.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74–3)/(1,1–1)
H = (0,74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Näpunäiteid
- Kiirenduse (kiiruse muutumine ajas) väärtuse leidmiseks kasutage esimese jaotise meetodit, et saada nihkefunktsiooni tuletise võrrand. Seejärel looge uuesti tuletatud võrrand, seekord oma tuletatud võrrandist. See annab teile võrrandi kiirenduse leidmiseks igal ajahetkel, peate vaid sisestama oma aja väärtuse.
- Võrrand Y (nihe) ja X (aeg) vahel võib olla väga lihtne, näiteks Y = 6x + 3. Sel juhul on kalde väärtus konstant ja selle arvutamiseks pole vaja tuletist leida, kus sirge võrrandi kohaselt on Y = mx + b 6.
- Nihutamine sarnaneb kaugusega, kuid sellel on suund, seega on nihe vektori suurus, vahemaa aga skalaarne suurus. Nihke väärtus võib olla negatiivne, kuid vahemaa on alati positiivne.
