Kui leiate esmakordselt kuupvõrrandi (mis on kujul kirves 3 + bx 2 + cx + d = 0), võib -olla arvate, et probleemi on raske lahendada. Kuid teadke, et kuupvõrrandite lahendamine on tegelikult olnud sajandeid! See Itaalia matemaatikute Niccolò Tartaglia ja Gerolamo Cardano poolt 1500ndatel avastatud lahendus on üks esimesi valemeid, mida Vana -Kreekas ja Roomas teatakse. Kuupvõrrandite lahendamine võib olla pisut keeruline, kuid õige lähenemisega (ja piisavate teadmistega) on võimalik lahendada ka kõige raskemad kuupvõrrandid.
Samm
Meetod 1 /3: Lahendamine ruutvõrrandite abil
Samm 1. Kontrollige, kas teie kuupvõrrandil on konstant
Nagu eespool öeldud, on kuupvõrrandi vorm kirves 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c ja d väärtus võib olla 0, mõjutamata selle kuupvõrrandi vormi; see tähendab põhimõtteliselt seda, et kuupvõrrand ei pea alati sisaldama väärtust bx 2, cx või d on kuupvõrrand. Selle üsna lihtsa kuupvõrrandite lahendamise kasutamise alustamiseks kontrollige, kas teie kuupvõrrandil on konstant (või väärtus d). Kui teie võrrandil pole d jaoks konstandi ega väärtust, saate mõne ruutmeetrilise võrrandi abil mõne sammu järel vastuse leida kuupvõrrandile.
Teisest küljest, kui teie võrrandil on konstantne väärtus, vajate teist lahendust. Teiste lähenemisviiside jaoks vaadake allolevaid samme
Samm 2. Tegutsege kuupvõrrandi x -väärtus
Kuna teie võrrandil pole konstantset väärtust, on kõigil selle komponentidel muutuja x. See tähendab, et selle x väärtuse saab selle lihtsustamiseks võrrandist välja arvata. Tehke see samm ja kirjutage oma kuupvõrrand võrku x (ax 2 + bx + c).
Oletame näiteks, et esialgne kuupvõrrand on siin 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Tehes sellest võrrandist ühe muutuja x, saame võrrandi x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Samm 3. Sulgudes olevate võrrandite lahendamiseks kasutage ruutvõrrandeid
Võite märgata, et mõned teie uued võrrandid, mis on sulgudes, on ruutvõrrandi kujul (ax 2 + bx + c). See tähendab, et selle võrrandi nulliks muutmiseks vajaliku väärtuse leiame, ühendades a, b ja c ruutvõrrandi valemiga ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a). Tehke need arvutused, et leida oma kuupvõrrandile kaks vastust.
-
Meie näites ühendage a, b ja c väärtused (vastavalt 3, -2 ja 14) ruutvõrrandisse järgmiselt:
-
- {- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a
-
{-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
Vastus 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12,8 i}/6
-
-
Vastus 2:
-
- {2–12,8 i}/6
-
Samm 4. Kasutage kuupvõrrandi vastusena nulle ja oma vastust ruutvõrrandile
Ruutvõrranditel on kaks vastust, kuupvõrranditel aga kolm vastust. Te teate juba kahte vastust kolmest; mille saate sulgudes oleva võrrandi "ruudukujulisest" osast. Kui teie kuupvõrrandit saab lahendada sellise "faktoriseerimisega", on teie kolmas vastus peaaegu alati 0. Ohutu! Olete just lahendanud kuupvõrrandi.
Põhjus, mis paneb selle meetodi toimima, on põhiline tõsiasi, et "iga arv, mis on korrutatud nulliga, võrdub nulliga". Kui arvestate oma võrrandi vormiks x (ax 2 + bx + c) = 0, jagate selle põhimõtteliselt kaheks "osaks"; üks osa on x muutuja vasakul küljel ja teine osa on sulgudes ruutvõrrand. Kui üks neist kahest osast on null, siis on ka kogu võrrand null. Seega on kaks vastust sulgudes asuvale ruutvõrrandile, mis muudaks selle nulliks, vastused kuupvõrrandile, samuti 0 ise - mis muudaks vasakpoolse osa ka nulliks.
Meetod 2/3: täisarvuliste vastuste leidmine tegurite loendi abil
Samm 1. Veenduge, et teie kuupvõrrandil on konstantne väärtus
Kuigi ülalkirjeldatud meetodeid on üsna lihtne kasutada, kuna nende kasutamiseks ei pea te uut arvutustehnikat õppima, ei aita need alati kuupvõrrandeid lahendada. Kui teie kuupvõrrand on kirve kujul 3 + bx 2 + cx + d = 0, kus d väärtus ei ole võrdne nulliga, ülaltoodud "faktoriseerimise" meetod ei tööta, seega peate selle lahendamiseks kasutama ühte selle jaotise meetoditest.
Oletame näiteks, et meil on võrrand 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. Sel juhul, et saada võrrandi paremal küljel null, peame lisama mõlemale poolele 6. Pärast seda saame uue võrrandi 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, väärtusega d = 6, seega ei saa me kasutada "faktoriseerimise" meetodit nagu eelmises meetodis.
Samm 2. Leidke a ja d tegurid
Kuupvõrrandi lahendamiseks leidke kõigepealt tegur a (koefitsient x 3) ja d (konstantväärtus võrrandi lõpus). Pidage meeles, et tegurid on arvud, mida saab teatud arvu saamiseks üksteisega korrutada. Näiteks kuna saate 6, korrutades 6 × 1 ja 2 × 3, on 1, 2, 3 ja 6 tegurid 6.
-
Meie kasutatavas näidisülesandes a = 2 ja d = 6. Tegur 2 on 1 ja 2. Kuigi tegur 6 on 1, 2, 3 ja 6.
Samm 3. Jagage tegur a teguriga d
Seejärel loetlege saadud väärtused, jagades iga a teguri iga teguriga d. Selle arvutuse tulemuseks on tavaliselt palju murdväärtusi ja mitu täisarvu. Kuupvõrrandi lahendamiseks kasutatav täisarv on üks arvutamisel saadud täisarvudest.
Jagage meie võrrandis teguri väärtus a (1, 2) teguriga d (1, 2, 3, 6) ja saate järgmised tulemused: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 ja 2/3. Seejärel lisage loendisse negatiivsed väärtused ja saame: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 ja -2/3. Vastus kuupvõrrandile - mis on täisarv - on loendis.
Samm 4. Kasutage sünteetilist jaotust vastuste käsitsi kontrollimiseks
Kui teil on ülaltoodud väärtuste loend, saate iga täisarvu käsitsi sisestades otsida täisarvulisi väärtusi, mis vastavad teie kuupvõrrandile, ja leida, milline väärtus tagastab nulli. Kui te aga ei soovi sellele aega kulutada, on võimalus seda kiiremini teha, nimelt arvutusega, mida nimetatakse sünteetiliseks jagamiseks. Põhimõtteliselt jagaksite oma täisarvuväärtuse kuupvõrrandi algse koefitsiendiga a, b, c ja d. Kui jääk on null, on see väärtus üks vastuseid teie kuupvõrrandile.
-
Sünteetiline jaotus on keeruline teema - lisateabe saamiseks vaadake allolevat linki. Siin on näide selle kohta, kuidas leida sünteetilise jaotusega kuupvõrrandile üks vastustest.
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Kuna saame lõpptulemuseks võrdse 0, teame, et üks täisarv vastustest meie kuupvõrrandile on - 1.
-
Meetod 3/3: diskrimineeriva lähenemisviisi kasutamine
Samm 1. Kirjutage võrrandid a, b, c ja d
Sel viisil kuupvõrrandile vastuse leidmiseks teeme palju arvutusi oma võrrandis olevate koefitsientidega. Seetõttu on hea mõte a, b, c ja d väärtused üles märkida, enne kui väärtused unustate.
Näiteks võrrandi x jaoks 3 - 3 x 2 + 3 x -1, kirjutage see a = 1, b = -3, c = 3 ja d = -1. Ärge unustage, et kui muutujal x pole koefitsienti, on selle väärtus 1.
Etapp 2. Arvutage 0 = b 2 - 3 konditsioneeri.
Diskrimineeriv lähenemisviis kuupvõrranditele vastuste leidmiseks nõuab keerukaid arvutusi, kuid kui järgite neid samme hoolikalt, võib see olla väga kasulik kuupvõrrandite lahendamiseks, mida on muul viisil raske lahendada. Alustuseks leidke väärtus 0, mis on esimene oluline väärtus paljudest, mida vajame, ühendades sobiva väärtuse valemiga b 2 - 3 konditsioneeri.
-
Meie näites lahendame selle järgmiselt.
-
- b 2 - 3 ak
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Samm 3. Arvutage 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d.
Järgmine oluline väärtus, mida vajame, 1, nõuab pikemat arvutamist, kuid selle võib leida samamoodi nagu 0. Ühendage sobiv väärtus valemiga 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d, et saada väärtus 1.
-
Selles näites lahendame selle järgmiselt.
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Samm 4. Arvutage = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Järgmisena arvutame väärtuste 0 ja 1 "diskrimineeriva" väärtuse. Diskriminant on number, mis annab teile teavet polünoomi juure kohta (olete võib -olla alateadlikult meelde jätnud ruutdistsipliinivalemi: b 2 - 4 konditsioneeri). Kuupvõrrandi puhul, kui diskrimineerija väärtus on positiivne, siis on võrrandil kolm reaalarvulist vastust. Kui diskrimineeriv väärtus on võrdne nulliga, siis on võrrandil üks või kaks reaalarvu vastust ja mõnel vastusel sama väärtus. Kui väärtus on negatiivne, on võrrandil ainult üks reaalarvu vastus, sest võrrandi graafik lõikab alati vähemalt ühe korra x-telje.)
-
Selles näites, kuna nii 0 kui ka 1 = 0, on väärtuse leidmine väga lihtne. Peame selle lihtsalt arvutama järgmisel viisil:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, seega on meie võrrandil 1 või 2 vastust.
-
Samm 5. Arvutage C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
Viimane väärtus, mis on meie jaoks oluline saada, on C väärtus. See väärtus võimaldab saada kõik meie kuupvõrrandi kolm juurt. Lahendage nagu tavaliselt, ühendades valemiga väärtused 1 ja 0.
-
Selles näites saame C väärtuse järgmiselt:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
-
Samm 6. Arvutage oma muutujaga võrrandi kolm juurt
Teie kuupvõrrandi juur (vastus) määratakse valemiga (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, kus u = (-1 + (-3))/2 ja n võrdub 1, 2 või 3. Ühendage oma väärtused nende lahendamiseks valemiga-teil võib olla vaja teha üsna palju arvutusi, kuid peaksite saama kõik kolm oma kuupvõrrandi vastust!
- Selles näites võiksime selle lahendada, kontrollides vastuseid, kui n on 1, 2 ja 3. Sellest arvutusest saadav vastus on võimalik vastus meie kuupvõrrandile - mis tahes väärtus, mille me liitame kuupvõrrandisse ja see annab sama tulemus. 0 -ga on õige vastus. Näiteks kui saame ühes arvutuskatses vastuse 1, võrdsustades väärtuse 1 võrrandiga x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 annab lõpptulemuseks võrdse 0. Seega
Samm 1. on üks vastuseid meie kuupvõrrandile.
