Matemaatikas, faktooring on viis leida numbreid või väljendeid, mis korrutamisel annavad antud arvu või võrrandi. Faktooring on kasulik oskus lihtsate algebraülesannete lahendamiseks; võime hästi arvestada, muutub oluliseks ruutvõrrandite ja muude polünoomide vormide käsitlemisel. Faktooringut saab kasutada algebraliste avaldiste lihtsustamiseks, et muuta nende lahendused lihtsamaks. Faktooring võib isegi anda teile võimaluse kõrvaldada teatud võimalikud vastused palju kiiremini kui nende käsitsi lahendamine.
Samm
Meetod 1 /3: arvude faktooring ja lihtsad algebralised avaldised
Samm 1. Mõistke faktooringumääratlust üksikute numbrite puhul
Faktooring on lihtne mõiste, kuid praktikas võib see keeruliste võrrandite puhul keeruliseks osutuda. Seetõttu on faktooringu kontseptsioonile kõige lihtsam läheneda, alustades lihtsatest numbritest, seejärel lihtsate võrrandite juurde, enne kui lõpuks liigume keerukamate rakenduste juurde. Arvu tegurid on numbrid, mis korrutamisel annavad arvu. Näiteks tegurid 12 on 1, 12, 2, 6, 3 ja 4, sest 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4 on võrdsed 12 -ga.
- Teine võimalus sellele mõelda on see, et arvu tegurid on arvud, mis võivad arvuks ühtlaselt jaguneda.
-
Kas leiate kõik arvu 60 tegurid? Me kasutame numbrit 60 erinevatel eesmärkidel (minutid tunnis, sekundid minutis jne), sest see võib olla jagatav üsna paljude teiste arvudega.
Tegurid 60 on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60
Samm 2. Mõistke, et ka muutuvaid avaldisi saab arvesse võtta
Nii nagu saab arvutada ise numbreid, saab arvesse võtta ka arvukoefitsientidega muutujaid. Selleks leidke lihtsalt muutujate koefitsientide tegurid. Muutujat arvesse võtmise teadmine on selle muutujaga seotud algebraliste võrrandite lihtsustamiseks väga kasulik.
-
Näiteks võib muutuja 12x kirjutada tegurite 12 ja x korrutisena. Me võime 12x kirjutada 3 (4x), 2 (6x) jne, kasutades kumbagi tegurit 12, mis meie eesmärkidel kõige paremini sobib.
Me võime isegi 12 korda mitu korda arvestada. Teisisõnu, me ei pea peatuma 3 (4x) või 2 (6x) juures - me saame 4x ja 6x koefitsiendiks saada 3 (2 (2x) ja 2 (3 (2x)). Loomulikult on need kaks väljendit on samaväärsed
Samm 3. Rakendage korrutamise jaotav omadus teguri algebralistele võrranditele
Kasutades oma teadmisi nii üksikute numbrite kui ka muutujate koefitsientidega arvestamiseks, saate lihtsaid algebralisi võrrandeid lihtsustada, leides tegurid, mida numbrid ja muutujad algebralistes võrrandites jagavad. Tavaliselt püüame võrrandi lihtsustamiseks leida suurima ühise teguri. See lihtsustamisprotsess on võimalik korrutamise jaotava omaduse tõttu, mis kehtib mis tahes arvu a, b ja c kohta. a (b + c) = ab + ac.
- Proovime näite küsimust. Algebralise võrrandi 12x + 6 faktoriseerimiseks proovime kõigepealt leida suurima ühisteguri 12x ja 6. 6 on suurim arv, mis suudab 12x ja 6 ühtlaselt jagada, seega saame võrrandit lihtsustada 6 -ni (2x + 1).
- See protsess kehtib ka negatiivsete arvude ja murdudega võrrandite kohta. Näiteks x/2 + 4 saab lihtsustada 1/2 (x + 8) ja -7x + -21 saab arvutada -7 (x + 3).
Meetod 2/3: ruutvõrrandite faktoorimine
Samm 1. Veenduge, et võrrand oleks ruutkujuline (ax2 + bx + c = 0).
Ruutvõrrandite kuju on kirves2 + bx + c = 0, kus a, b ja c on arvukonstandid ja ei ole võrdsed 0 -ga (pange tähele, et a võib olla 1 või -1). Kui teil on võrrand, millel on üks muutuja (x), millel on üks termin x kahe või enama astmeni, teisaldate need terminid tavaliselt võrrandis, kasutades lihtsaid algebralisi toiminguid, et saada 0 mõlemal pool võrdusmärki ja kirvest2, jne. teisel pool.
- Mõelgem näiteks algebralisele võrrandile. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 saab lihtsustada x -ks2 + 6x + 9 = 0, mis on ruudukujuline vorm.
- Võrrandid suurema võimsusega x, näiteks x3, x4, jne. ei ole ruutvõrrandid. Need võrrandid on kuupvõrrandid neljanda astmeni ja nii edasi, välja arvatud juhul, kui võrrandit saab lihtsustada, et eemaldada need x terminid, mille võimsus on suurem kui 2.
Samm 2. Ruutvõrrandis, kus a = 1, tegur (x+d) (x+e), kus d × e = c ja d+e = b
Kui teie ruutvõrrand on kujul x2 + bx + c = 0 (teisisõnu, kui mõiste x koefitsient2 = 1), on võimalik (kuid mitte garanteeritud), et võrrandi tegurdamiseks saab kasutada üsna lihtsat kiirmeetodit. Leidke kaks numbrit, mis korrutades annavad c ja liidetakse, et toota b. Kui olete need kaks numbrit d ja e otsinud, sisestage need järgmisse väljendisse: (x+d) (x+e). Need kaks terminit korrutades annavad teile teie ruutvõrrandi - teisisõnu, need on teie ruutvõrrandi tegurid.
- Mõelgem näiteks ruutvõrrandile x2 + 5x + 6 = 0. 3 ja 2 korrutatakse tulemuseks 6 ja lisatakse ka 5, nii et saame seda võrrandit lihtsustada (x + 3) (x + 2).
-
Selle peamise kiirmeetodi väike erinevus seisneb erinevustes endas:
- Kui ruutvõrrand on kujul x2-bx+c, teie vastus on järgmine: (x - _) (x - _).
- Kui võrrand on kujul x2+ bx + c, teie vastus näeb välja selline: (x + _) (x + _).
- Kui võrrand on kujul x2-bx -c, teie vastus on kujul (x + _) (x -_).
- Märkus. Toorikute numbrid võivad olla murd- või kümnendkohad. Näiteks võrrand x2 + (21/2) x + 5 = 0 arvestatakse (x + 10) (x + 1/2).
Samm 3. Kui võimalik, tehke kontrollid läbi
Uskuge või mitte, kuid lihtsate ruutvõrrandite puhul on üks lubatud faktooringumeetodeid probleemi uurimine ja seejärel võimalike vastuste kaalumine, kuni leiate õige vastuse. Seda meetodit tuntakse ka kui faktooringut läbi eksami. Kui võrrand on kirve kujul2+bx +c ja a> 1, on teie tegurivastus kujul (dx +/- _) (ex +/- _), kus d ja e on nulliväliste arvude konstandid, mis korrutades annavad a. Ei d ega e (või mõlemad) ei saa olla 1, kuigi see ei pea olema. Kui mõlemad on 1, kasutate põhimõtteliselt ülalkirjeldatud kiirmeetodit.
Mõelgem näiteks ühele probleemile. 3x2 - 8x + 4 tundub alguses raske. Kui aga saame aru, et kolmel on ainult kaks tegurit (3 ja 1), muutub see võrrand lihtsamaks, kuna teame, et meie vastus peab olema vormis (3x +/- _) (x +/- _). Sellisel juhul annab -2 lisamine mõlemale tühjale õige vastuse. -2 × 3x = -6x ja -2 × x = -2x. -6x ja -2x kokku kuni -8x. -2 × -2 = 4, seega näeme, et sulgudes arvesse võetud terminid korrutamisel annavad algse võrrandi.
Samm 4. Lahendage ruut
Mõnel juhul saab ruutvõrrandeid kiiresti ja hõlpsalt arvesse võtta, kasutades spetsiaalseid algebralisi identiteete. Mis tahes ruutvõrrand kujul x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Nii et kui teie võrrandis on teie b väärtus kaks korda ruutjuur teie c väärtusest, saab teie võrrandi arvutada (x + (juur (c)))2.
Näiteks võrrand x2 +6x+9 on sellise kujuga. 32 on 9 ja 3 × 2 on 6. Niisiis, me teame, et selle võrrandi tegurivorm on (x + 3) (x + 3) või (x + 3)2.
Samm 5. Kasutage ruutvõrrandite lahendamiseks tegureid
Sõltumata sellest, kuidas te oma ruutvõrrandit arvestasite, saate võrrandi arvestamise järel leida võimalikud vastused x väärtusele, muutes iga teguri nulliks ja lahendades need. Kuna otsite x väärtust, mis muudab teie võrrandi võrdseks nulliga, on x väärtus, mis muudab mis tahes teguri nulliks, võimalik vastus teie ruutvõrrandile.
Läheme tagasi võrrandi x juurde2 + 5x + 6 = 0. See võrrand võetakse arvesse (x + 3) (x + 2) = 0. Kui kumbki tegur on võrdne 0-ga, on kõik võrrandid võrdsed 0-ga, seega on meie võimalikud vastused x-i jaoks numbrid- arv, mis teeb (x + 3) ja (x + 2) on võrdsed 0. Need arvud on vastavalt -3 ja -2.
Samm 6. Kontrollige oma vastuseid - mõned vastused võivad olla eksitavad
Kui leiate x -i jaoks võimalikud vastused, ühendage need tagasi oma algsesse võrrandisse, et näha, kas vastus on õige. Mõnikord ei muuda leitud vastused algse võrrandi uuesti sisestamisel nulli. Me nimetame seda vastust hälbivaks ja ignoreerime seda.
-
Paneme x -i -2 ja -32 + 5x + 6 = 0. Esiteks -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. See vastus on õige, seega -2 on õige vastus.
-
Proovime nüüd -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. See vastus on samuti õige, seega -3 on õige vastus.
Meetod 3/3: muude võrrandite faktooring
Samm 1. Kui võrrand on väljendatud kujul a2-b2, teguriks (a+b) (a-b).
Kahe muutujaga võrranditel on erinevad tegurid kui ruutkeskmisel võrrandil. Võrrandi a jaoks2-b2 kõik, kus a ja b ei ole 0, on võrrandi tegurid (a+b) (a-b).
Näiteks võrrand 9x2 - 4a2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Etapp 2. Kui võrrand on väljendatud kujul a2+2ab+b2, tegur (a+b)2.
Pange tähele, et kui trinomiaal on vormis a2-2ab+b2, vormitegurid on veidi erinevad: (a-b)2.
4x võrrand2 + 8xy + 4a2 saab 4x ümber kirjutada2 + (2 × 2 × 2) xy + 4 a2. Nüüd näeme, et vorm on õige, nii et võime olla kindlad, et meie võrrandi tegurid on (2x + 2y)2
Samm 3. Kui võrrand on väljendatud kujul a3-b3, teguriks (a-b) (a2+ab+b2).
Lõpuks mainiti juba, et kuupvõrrandeid ja isegi suuremaid võimeid saab arvesse võtta, kuigi faktooringprotsess muutub kiiresti väga keeruliseks.
Näiteks 8x3 - 27 aastat3 arvestatud (2x - 3a) (4x2 + ((2x) (3 a)) + 9 a2)
Näpunäiteid
- a2-b2 saab arvesse võtta, a2+b2 ei saa arvesse võtta.
- Pidage meeles, kuidas konstanti arvesse võtta. See võib aidata.
- Olge faktooringuprotsessis murdudega ettevaatlik ning töötage murdudega õigesti ja hoolikalt.
- Kui teil on kolmnurk kujul x2+ bx+ (b/2)2, vormitegur on (x+(b/2))2. (Sellise olukorraga võite kokku puutuda ruudu täitmisel.)
- Pidage meeles, et a0 = 0 (korrutise null omadus).
