Polünoom sisaldab muutujat (x) võimsusega, mida tuntakse kraadina, ning mitmeid termineid ja/või konstandeid. Polünoomi faktoorimine tähendab võrrandi jagamist lihtsamateks võrranditeks, mida saab korrutada. See oskus on algebra 1 ja uuem ning seda võib olla raske mõista, kui teie matemaatikaoskused pole sellel tasemel.
Samm
Alusta
Samm 1. Seadistage võrrand
Ruutvõrrandi standardvorming on järgmine:
kirves2 + bx + c = 0
Alustage sellest, et järjestate oma võrrandis olevad terminid kõrgeimast madalaima võimsuseni, nagu ka selles standardvormingus. Näiteks:
6 + 6x2 + 13x = 0
Korraldame selle võrrandi ümber nii, et sellega oleks lihtsam töötada, lihtsalt teisaldades termineid:
6x2 + 13x + 6 = 0
Samm 2. Leidke vormitegur, kasutades ühte järgmistest meetoditest
Polünoomi faktoorimisel saadakse kaks lihtsamat võrrandit, mida saab algse polünoomi saamiseks korrutada:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Selles näites on (2x + 3) ja (3x + 2) algse võrrandi tegurid 6x2 +13x+6.
Samm 3. Kontrollige oma tööd
Korrutage tegurid, mis teil on. Seejärel ühendage sarnased terminid ja oletegi valmis. Alustage:
(2x + 3) (3x + 2)
Proovime, korrutame terminid PLDT abil (esimene - väljaspool - sees - viimane), mille tulemuseks on:
6x2 + 4x + 9x + 6
Siit saame liita 4x ja 9x, sest need on sarnased terminid. Me teame, et meie tegurid on õiged, kuna saame algse võrrandi:
6x2 + 13x + 6
Meetod 1 /6: Katse ja viga
Kui teil on üsna lihtne polünoom, siis võib -olla leiate need tegurid lihtsalt neid vaadates. Näiteks pärast praktikat saavad paljud matemaatikud aru, et võrrand 4x2 + 4x + 1 on teguriga (2x + 1) ja (2x + 1) lihtsalt seda sageli vaadates. (Keerulisemate polünoomide puhul pole see muidugi lihtne). Selle näite puhul kasutame harvemini kasutatavat võrrandit:
3x2 + 2x - 8
Samm 1. Kirjutage loend mõiste a ja mõiste c teguritest
Kirvvõrrandi vormingu kasutamine2 + bx + c = 0, tuvastage terminid a ja c ning pange kirja mõlema mõiste tegurid. 3x jaoks2 + 2x - 8, mis tähendab:
a = 3 ja sellel on hulk tegureid: 1 * 3
c = -8 ja sellel on neli tegurite komplekti: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.
Samm 2. Kirjutage kaks tühikutega sulgude komplekti
Iga võrrandi jaoks täidate loodud tühikud konstantidega:
(x) (x)
Samm 3. Täitke x ees olevad tühikud võimalike teguripaaridega väärtuse a jaoks
Meie näite termini a puhul 3x2, meie näite jaoks on ainult üks võimalus:
(3x) (1x)
Samm 4. Täitke x järel kaks tühikut konstantse teguripaaridega
Oletame, et valime 8 ja 1. Kirjutage nendesse:
(3x
8. samm.)(
Samm 1
Samm 5. Määrake märk (pluss või miinus) muutuja x ja arvu vahel
Sõltuvalt algvõrrandi märkidest võib olla võimalik konstantidele märke otsida. Oletame, et nimetame oma kahe teguri jaoks kahte konstanti h ja k:
Kui kirves2 + bx + c seejärel (x + h) (x + k)
Kui kirves2 - bx - c või kirves2 + bx - c siis (x - h) (x + k)
Kui kirves2 - bx + c siis (x - h) (x - k)
Meie näite puhul 3x2 + 2x - 8, märgid on: (x - h) (x + k), andes meile kaks tegurit:
(3x + 8) ja (x - 1)
Samm 6. Kontrollige oma valikuid, kasutades esimest korrutamist viimases korrutises (PLDT)
Esimene kiirtest on näha, kas keskväljal on vähemalt õige väärtus. Kui ei, siis olete valinud valed c -tegurid. Proovime oma vastust:
(3x + 8) (x - 1)
Korrutades saame:
3x2 - 3x + 8x - 8
Seda võrrandit lihtsustades, lisades sarnased terminid (-3x) ja (8x), saame:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nüüd teame, et pidime kasutama valesid tegureid:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Samm 7. Vajadusel muutke oma valikut
Meie näites proovime 1 ja 8 asemel 2 ja 4:
(3x + 2) (x - 4)
Nüüd on meie c -termin -8, kuid meie välis-/sisetoode (3x * -4) ja (2 * x) on -12x ja 2x, mis kokku ei anna õiget b +2x termini.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Samm 8. Vajadusel pöörake järjekorda ümber
Proovime vahetada 2 ja 4:
(3x + 4) (x - 2)
Nüüd on meie c termin (4 * 2 = 8) õige, kuid välimine/sisemine produkt on -6x ja 4x. Kui ühendame need:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Oleme otsitavale 2x lähedal, kuid märk on vale.
Samm 9. Kontrollige vajadusel oma silte uuesti
Kasutame sama järjekorda, kuid vahetage välja miinusmärgiga võrrandid:
(3x - 4) (x + 2)
Nüüd pole terminiga c probleeme ja praegune välimine/sisemine toode on (6x) ja (-4x). Sest:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nüüd saame kasutada algse probleemi positiivset 2x. Need peavad olema õiged tegurid.
Meetod 2/6: Lagunemine
See meetod tuvastab kõik mõistete a ja c võimalikud tegurid ning kasutab neid õigete tegurite leidmiseks. Kui numbrid on liiga suured või arvamine tundub aeganõudev, kasutage seda meetodit. Kasutame näidet:
6x2 + 13x + 6
Samm 1. Korrutage termin a tähega c
Selles näites on a 6 ja c on samuti 6.
6 * 6 = 36
Samm 2. Hankige faktor b ja faktooring
Otsime kahte numbrit, mis on meie tuvastatud toote a * c tegurid ja liidetakse ka mõistega b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Samm 3. Asendage kaks numbrit, mille saate võrrandisse termini b lisamise tulemusena
Kasutame k ja h kahe olemasoleva numbri 4 ja 9 tähistamiseks:
kirves2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Samm 4. Faktorige polünoom rühmitamise teel
Korraldage võrrandid nii, et saaksite võtta nii esimese kui ka teise termini suurima ühise teguri. Faktorite rühm peab olema sama. Lisage suurim ühine tegur ja asetage see tegurirühma kõrvale sulgudesse; tulemus on teie kaks tegurit:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
3. meetod 6 -st: kolmikmäng
Sarnaselt lagunemismeetodile uurib kolmikmängu meetod võimalikke tegureid, mis aitavad korrutada termineid a ja c ning kasutada väärtust b. Proovige kasutada seda näite võrrandit:
8x2 + 10x + 2
Samm 1. Korrutage termin a tähega c
Nagu parsimismeetod, aitab see meil tuvastada kandidaate terminiks b. Selles näites on a 8 ja c 2.
8 * 2 = 16
Samm 2. Leidke kaks numbrit, mis arvudega korrutades annavad selle arvu, mille kogusumma on võrdne terminiga b
See samm on sama, mis parsimine - testime ja viskame konstanti kandidaadid tagasi. Terminite a ja c korrutis on 16 ja termin c on 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Samm 3. Võtke need kaks numbrit ja katsetage neid, ühendades need kolmikmängu valemiga
Võtke meie kaks numbrit eelmisest sammust - nimetagem neid h ja k - ja ühendage need võrrandiga:
((kirves + h) (kirves + k))/ a
Me saame:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Samm 4. Pange tähele, kas mõni lugeja kahest terminist on jagatav a -ga
Selles näites nägime, kas (8x + 8) või (8x + 2) jagub 8 -ga. (8x + 8) jagub 8 -ga, seega jagame selle termini a -ga ja jätame teised tegurid rahule.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Sulgudes olev mõiste on see, mis jääb alles pärast seda, kui oleme jaganud mõistega a.
Samm 5. Võtke ühe või mõlema termini suurim ühine tegur (GCF), kui neid on
Selles näites on teise termini GCF 2, sest 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombineerige see tulemus eelmisel etapil saadud terminiga. Need on teie võrrandi tegurid.
2 (x + 1) (4x + 1)
Meetod 4/6: ruutjuurte erinevus
Mõned koefitsiendid polünoomides võivad olla ruudud või kahe arvu korrutised. Nende ruutude tuvastamine võimaldab teil mitut polünoomi kiiremini arvestada. Proovige seda võrrandit:
27x2 - 12 = 0
1. samm. Võimaluse korral võtke välja suurim ühine tegur
Sel juhul näeme, et 27 ja 12 jaguvad 3 -ga, nii et saame:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Samm 2. Tehke kindlaks, kas teie võrrandi koefitsiendid on ruutarvud
Selle meetodi kasutamiseks peate suutma võtta mõlema termini ruutjuure. (Pange tähele, et me ignoreerime negatiivset märki - kuna need arvud on ruudud, võivad need olla kahe positiivse või negatiivse arvu korrutis)
9x2 = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2
Samm 3. Kasutades saadud ruutjuurt, pange tegurid kirja
Võtame a ja c väärtused ülaltoodud sammust - a = 9 ja c = 4, seejärel leidke ruutjuur - a = 3 ja c = 2. Tulemuseks on tegurivõrrandi koefitsient:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Meetod 5/6: ruutmeetriline valem
Kui kõik muu ebaõnnestub ja võrrandit ei saa tervikuna arvesse võtta, kasutage ruutvalemit. Proovige seda näidet:
x2 + 4x + 1 = 0
Samm 1. Sisestage nõutavad väärtused ruutvalemisse:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Saame võrrandi:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Samm 2. Leidke x väärtus
Saate kaks väärtust. Nagu eespool näidatud, saame kaks vastust:
x = -2 + (3) või x = -2 -(3)
Samm 3. Kasutage tegurite leidmiseks oma x-väärtust
Ühendage saadud x väärtused konstantidena kahte polünoomi võrrandisse. Tulemuseks on teie tegurid. Kui nimetame oma vastuseid h ja k, kirjutame need kaks tegurit üles järgmiselt:
(x - h) (x - k)
Selles näites on meie lõplik vastus järgmine:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Meetod 6/6: Kalkulaatori kasutamine
Kui teil on lubatud kasutada kalkulaatorit, muudab graafiline kalkulaator faktooringuprotsessi palju lihtsamaks, eriti standarditud testide puhul. Need juhised on mõeldud TI graafikukalkulaatorile. Kasutame näite võrrandit:
y = x2 x 2
Samm 1. Sisestage oma võrrand kalkulaatorisse
Kasutate võrrandi faktooringut, mis on ekraanile kirjutatud [Y =].
Samm 2. Joonista oma võrrand kalkulaatori abil
Kui olete võrrandi sisestanud, vajutage [GRAPH] - näete sujuvat kõverat, mis kujutab teie võrrandit (ja kuju on kõver, kuna kasutame polünoome).
Samm 3. Leidke asukoht, kus kõver lõikub x-teljega
Kuna polünoomvõrrandid kirjutatakse tavaliselt kirveks2 + bx + c = 0, see ristmik on x teine väärtus, mille tõttu võrrand on null:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Kui te ei saa seda vaadates tuvastada, kus graafik ristub x-teljega, vajutage [2nd] ja seejärel [TRACE]. Vajutage [2] või valige null. Liigutage kursor ristmikust vasakule ja vajutage [ENTER]. Liigutage kursor ristmikust paremale ja vajutage [ENTER]. Liigutage kursor ristmikule võimalikult lähedale ja vajutage [ENTER]. Kalkulaator leiab x väärtuse. Tehke seda ka teiste ristmike puhul
Samm 4. Ühendage eelmisest etapist saadud x väärtus kahe faktoriaalvõrrandiga
Kui me nimetaksime mõlemad oma x väärtused h ja k, siis kasutaksime järgmisi võrrandeid:
(x - h) (x - k) = 0
Seega on meie kaks tegurit järgmised:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Näpunäiteid
- Kui teil on kalkulaator TI-84 (graafik), on olemas programm nimega SOLVER, mis lahendab teie ruutvõrrandid. See programm lahendab mis tahes astme polünoome.
- Kui terminit pole kirjutatud, on koefitsient 0. Sel juhul on kasulik võrrand ümber kirjutada, näiteks: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Kui arvestasite oma polünoomi ruutmeetrilise valemi abil ja saite juurte osas vastuse, võiksite kontrollida x väärtuse kontrollimiseks murdosa.
- Kui terminil pole kirjalikku koefitsienti, on koefitsient 1, näiteks: x2 = 1x2.
- Pärast piisavat harjutamist saate lõpuks oma peas polünoome arvestada. Kuni saate seda teha, kirjutage alati juhised üles.
